International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences

Research Article

Division Problem of a Regular Form: The Case 𝑥𝟐𝑢=𝜆𝑥𝑣

Table 2

𝑎 𝑛 𝑎 2 𝑛 1 = − 8 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 1 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 2 ) , 𝑛 ≥ 0 , 𝑎 2 𝑛 + 1 = 1 8 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 1 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 2 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) ,  𝑛 ≥ 0 .
𝑏 𝑛 𝑏 0 = − 2 𝑥 1 𝑥 2 + 1 4 − 𝑡 2 1 + ( 𝑡 + 𝜆 + 2 ) 2 , 𝑏 2 𝑛 + 1 = 1 4 + 𝑡 8 2 ( 𝑛 + 1 ) 𝑡 − 𝜆 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 1 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 2 ) , 𝑛 ≥ 0 ,
𝑏 2 𝑛 + 2 = 1 4 + 𝑡 8 ( 2 𝑛 + 3 ) 𝑡 + 𝜆 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) , 𝑛 ≥ 0 .
𝑐 𝑛 𝑐 0 1 = − 2 , 𝑐 1 1 = − 2 − 𝑡 − 𝜆 , 𝑐 2 𝑛 + 3 = 1 8 2 𝑡 ( 2 𝑛 + 1 ) ( ( 𝑛 + 1 ) 𝑡 − 𝜆 ) − 𝜆 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) , 𝑛 ≥ 0 ,
𝑐 2 𝑛 + 2 1 = − 8 2 𝑡 ( 2 𝑛 + 1 ) ( ( 𝑛 + 1 ) 𝑡 + 𝜆 ) − 𝜆 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 1 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 2 ) , 𝑛 ≥ 0 .
𝛾 1 = − 2 𝑥 1 𝑥 2 , 𝛾 2 = 𝜆 𝑥 1 6 3 𝑥 4 𝑥 2 1 𝑥 2 2 ,
𝛾 𝑛 + 1 𝛾 2 𝑛 + 3 1 = − 4 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 1 ) ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 1 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 2 ) ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 2 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) 2 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) 2 , 𝑛 ≥ 0 ,
𝛾 2 𝑛 + 4 1 = − 4 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 3 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 4 ) ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 1 ) 2 ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 2 ) 2 , 𝑛 ≥ 0 .
𝛽 0 = 𝑡 + 𝜆 , 𝛽 1 𝜆 = − 𝑡 − 𝜆 − 2 𝑥 1 𝑥 2 { − 2 𝑥 1 𝑥 2 + 1 4 − 𝑡 2 1 + ( 𝑡 + 𝜆 + 2 ) 2 } ,
𝛽 2 𝑛 + 3 = 1 8 2 𝑡 ( 2 𝑛 + 1 ) ( ( 𝑛 + 1 ) 𝑡 − 𝜆 ) − 𝜆 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) + 1 2 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 1 ) ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 2 )
𝛽 𝑛 + 𝑡 4 ( 2 𝑛 + 3 ) 𝑡 + 𝜆 ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 1 ) ( 𝑡 ( 𝑛 + 1 ) − 𝑥 2 ) , 𝑛 ≥ 0 ,
𝛽 2 𝑛 + 2 1 = − 8 2 𝑡 ( 2 𝑛 + 1 ) ( ( 𝑛 + 1 ) 𝑡 + 𝜆 ) − 𝜆 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 1 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 2 ) − 1 2 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 1 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 2 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) − 𝑡 4 2 ( 𝑛 + 1 ) 𝑡 − 𝜆 ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 3 ) ( 𝑡 𝑛 − 𝑥 4 ) , 𝑛 ≥ 0 .