Applying GG-Convex Function to Hermite-Hadamard Inequalities Involving Hadamard Fractional Integrals

Abstract

By virtue of fractional integral identities, incomplete beta function, useful series, and inequalities, we apply the concept of GG-convex function to derive new type Hermite-Hadamard inequalities involving Hadamard fractional integrals. Finally, some applications to special means of real numbers are demonstrated.

1. Introduction

Fractional calculus played an important role in various fields such as electricity, biology, economics, and signal and image processing [1–8]. The fractional Hermite-Hadamard inequality gives a lower and an upper estimation for both right-hand and left-hand integrals average of any convex function defined on a compact interval, involving the midpoint and the endpoints of the domain.

As we know, Set [9] firstly studied fractional Ostrowski inequalities involving Riemann-Liouville fractional integrals. Then, Sarikaya et al. [10] studied Hermite-Hadamard type inequalities involving Riemann-Liouville fractional integrals. Further, our group go on studying fractional version Hermite-Hadamard inequality involving Riemann-Liouville and Hadamard fractional integrals for all kinds of functions [11–19].

Recently, Wang et al. [16, 17] established the following two powerful fractional integral identities involving Hadamard fractional integrals.

Lemma 1 (see [12, Lemma 3.1]). Let 𝑓∶[𝑎,𝑏]→ℝ be a differentiable mapping on (𝑎,𝑏). If 𝑓^′∈𝐿[𝑎,𝑏], then the following equality for fractional integrals holds:𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2−Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎=)ln𝑏−ln𝑎2¹₀(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑑𝑡, (1) where the symbols _𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓 and _𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓 are defined by _𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑥)=1Γ(𝛼)^𝑥_𝑎𝑥ln𝑡^𝛼−1𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑡,(0<𝑎<𝑥≤𝑏_𝐻),𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑥)=1Γ(𝛼)^𝑏_𝑥𝑡ln𝑥^𝛼−1𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑡,(0<𝑎≤𝑥<𝑏), (2) where Γ(⋅) is the Gamma function.

Lemma 2 (see [11, Lemma 2.1]). Let 𝑓∶[𝑎,𝑏]→ℝ be a differentiable mapping on (𝑎,𝑏) with 0<𝑎<𝑏. If 𝑓^′∈𝐿[𝑎,𝑏], then the following equality for fractional integrals holds:Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎)−𝑓𝑎+𝑏2=𝑏−𝑎2¹₀𝑘𝑓^′(()𝑏)−𝑡𝑎+1−𝑡𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑑𝑡, (3) where 1𝑘=1,0≤𝑡<2,1−1,2≤𝑡<1. (4)

Remark 3. It is remarkable that Professor Srivastava et al. [20] give some further refinements and extensions of the Hermite-Hadamard inequalities in 𝑛 variables. In the forthcoming works, we will try to extend to study fractional version Hermite-Hadamard inequalities in 𝑛 variables based on such fundamental results.

Next, we recall the following basic concepts and results in our previous papers.

Definition 4 (see [21, 22]). Let 𝑓∶𝐼⊆ℝ⁺→ℝ⁺. A function 𝑓 is said to be GG-convex on 𝐼 if, for every 𝑥,𝑦∈𝐼 and 𝜆∈[0,1], one has 𝑓𝑥^𝜆𝑦^1−𝜆≤𝑓(𝑥)^𝜆𝑓𝑦^1−𝜆. (5)

Remark 5. By the arithmetic-geometric mean inequality, we have 𝑓(𝑥)^𝜆𝑓𝑦^1−𝜆≤𝜆𝑓(𝑥)+(1−𝜆)𝑓𝑦. (6) Linking (5) and (6), we obtain 𝑓𝑥^𝜆𝑦^1−𝜆≤𝜆𝑓(𝑥)+(1−𝜆)𝑓𝑦, (7) which appears in the standard definition of GA-convex function [21]. So GG-convex function is GA-convex function.

Lemma 6 (see [19, Lemma 2.5]). For 𝑡∈[0,1],𝑥,𝑦>0, one has 𝑡𝑥+(1−𝑡)𝑦≥𝑦^1−𝑡𝑥^𝑡. (8)

Lemma 7 (see [13, Lemma 2.1]). For 𝛼>0 and 𝑘>0, one has 𝐼(𝛼)=¹₀𝑡^𝛼−1𝑘^𝑡𝑑𝑡=𝑘^∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1(ln𝑘)^𝑖−1(𝛼)_𝑖<+∞, (9) where (𝛼)_𝑖=𝛼(𝛼+1)(𝛼+2)⋯(𝛼+𝑖−1).

Lemma 8 (see [13, Lemma 2.2]). For 𝛼>0 and 𝑘>0,𝑧>0, one has 𝐽(𝛼,𝑘)=¹₀(1−𝑡)^𝛼−1𝑘^𝑡𝑑𝑡=^∞_𝑖=1(ln𝑘)^𝑖−1(𝛼)_𝑖𝐻()=<+∞,𝛼,𝑘,𝑧^𝑧₀𝑡^𝛼−1𝑘^𝑡𝑑𝑡=𝑧^𝛼𝑘^𝑧∞_𝑖=1(−𝑧ln𝑘)^𝑖−1(𝛼)_𝑖<+∞. (10)

Lemma 9 (see [13, Lemma 2.3]). For 𝛼>0 and 𝑘>0,1>𝑧>0, one has 𝑅(𝛼,𝑘,𝑧)=^𝑧₀(1−𝑡)^𝛼−1𝑘^𝑡=𝑑𝑡_∞𝑖=0(ln𝑘)^𝑖−1(𝛼)_𝑖1−𝑘^𝑧(1−𝑧)^{𝛼+𝑖−1}. (11)

In the present paper, we will use the above concepts and lemmas to derive some new fractional Hermite-Hadamard inequalities involving Hadamard fractional integrals.

2. Main Results Based on Lemma 1

Now we are ready to state the following main results in this section.

Theorem 10. Let 𝑓∶[0,𝑏]→ℝ⁺ be a differentiable mapping. If |𝑓^′| is measurable and |𝑓^′| is GG-convex on [𝑎,𝑏] for some fixed 𝛼∈(0,∞) and 𝑡∈[0,1], 0≤𝑎<𝑏, then the following integrals hold: 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2−Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎≤)ln𝑏−ln𝑎2×11−2^𝛼+1×𝑏𝑓^′(𝑏)+𝑏𝑓𝛼+1^′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑏)+𝑎𝑓𝛼+2_′(𝑎)−𝑎𝑓^′(𝑏)−𝑏𝑓^′(𝑎)−𝑎𝑓𝛼+3_′(𝑎)−𝑏𝑓^′(𝑎)(𝛼+3)2^𝛼+3+2𝑎𝑓^′(𝑎)()+𝑏𝑓𝛼+1)(𝛼+2)(𝛼+3_′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑎𝑓^′(𝑎)()+𝑓𝛼+1)(𝛼+32𝑎^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑎)2^𝛼+3()+𝑏𝑓𝛼+2)(𝛼+3_′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)2^𝛼+2()+𝑎𝑓𝛼+2_′(𝑎)(𝛼+1)2^𝛼+2−𝑎𝑓^′(𝑎)(𝛼+2)²2^𝛼+2. (12)

Proof. Noting Definition 4 and Lemmas 1 and 6, we have 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2−Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎=)ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹_1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2₀^1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼×𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹_1/2[𝑎𝑡+𝑏(1−𝑡)]𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼×𝑓^′(𝑎)^𝑡𝑓^′(𝑏)^1−𝑡+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2₀^1/2[𝑎𝑡+𝑏(1−𝑡)](1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼×𝑓^′(𝑎)^𝑡𝑓^′(𝑏)^1−𝑡≤𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹_1/2[𝑎𝑡+𝑏(1−𝑡)]𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼×𝑓^′(𝑎)𝑡+𝑓^′(𝑏+)(1−𝑡)𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2₀^1/2[𝑎𝑡+𝑏(1−𝑡)](1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼×𝑓^′(𝑎)𝑡+𝑓^′(𝑏≤)(1−𝑡)𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2𝑎𝑓^′(𝑎)𝛼+3¹_1/2(𝛼+3)𝑡^𝛼+2+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑎)𝛼+2¹_1/2(𝛼+2)𝑡^𝛼+1−𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑎)𝛼+3¹_1/2(𝛼+3)𝑡^𝛼+2+𝑎𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+2¹_1/2(𝛼+2)𝑡^𝛼+1−𝑎𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+3¹_1/2(𝛼+3)𝑡^𝛼+2+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+1¹_1/2(𝛼+1)𝑡^𝛼−𝑓𝑑𝑡2𝑏^′(𝑏)𝛼+2¹_1/2(𝛼+2)𝑡^𝛼+1+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+3¹_1/2(𝛼+3)𝑡^𝛼+2𝑓𝑑𝑡−𝑎^′(𝑎)¹_1/2(1−𝑡)^𝛼𝑡²𝑓𝑑𝑡−𝑏^′(𝑎)¹_1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡−𝑎^′(𝑏)¹_1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1−𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+3¹_1/2(𝛼+3)(1−𝑡)^𝛼+2+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2𝑎𝑓^′(𝑎)₀^1/2𝑡²(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑏)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+3₀^1/2(𝛼+3)(1−𝑡)^𝛼+2−𝑎𝑓𝑑𝑡_′(𝑎)𝛼+3₀^1/2(𝛼+3)𝑡^𝛼+2−𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑎)𝛼+2₀^1/2(𝛼+2)𝑡^𝛼+1+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑎)𝛼+3₀^1/2(𝛼+3)𝑡^𝛼+2−𝑎𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+2₀^1/2(𝛼+2)𝑡^𝛼+1+𝑎𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+3₀^1/2(𝛼+3)𝑡^𝛼+2−𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+1₀^1/2(𝛼+1)𝑡^𝛼+𝑓𝑑𝑡2𝑏^′(𝑏)𝛼+2₀^1/2(𝛼+2)𝑡^𝛼+1−𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+3₀^1/2(𝛼+3)𝑡^𝛼+2≤𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)1𝛼+31−2^𝛼+3+𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+21−2^𝛼+2−𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+31−2^𝛼+3+𝑎𝑓^′(𝑏)1𝛼+21−2^𝛼+2−𝑎𝑓^′(𝑏)1𝛼+31−2^𝛼+3+𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+11−2^𝛼+1−2𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+21−2^𝛼+2+𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+31−2^𝛼+3−𝑎𝑓^′(𝑎)¹_1/2(1−𝑡)^𝛼𝑡²𝑓𝑑𝑡−𝑏^′(𝑎)¹_1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡−𝑎^′(𝑏)¹_1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1−𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+3¹_1/2(𝛼+3)(1−𝑡)^𝛼+2+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)₀^1/2𝑡²(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑏)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)1𝛼+32^𝛼+3−𝑎𝑓−1^′(𝑎)1𝛼+32^𝛼+3−𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+22^𝛼+2+𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+32^𝛼+3−𝑎𝑓^′(𝑏)1𝛼+22^𝛼+2+𝑎𝑓^′(𝑏)1𝛼+32^𝛼+3−𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+12^𝛼+1+2𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+22^𝛼+2−𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+32^𝛼+3≤ln𝑏−ln𝑎2(𝑎−𝑏)𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)1𝛼+31−2^𝛼+3+𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+11−2^𝛼+1+𝑏𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)+(𝑎−𝑏)𝑓^′(𝑏)×1𝛼+21−2^𝛼+2−𝑎𝑓^′(𝑎)¹₀(1−𝑡)^𝛼𝑡²𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑎)₀^1/2(1−𝑡)^𝛼𝑡²𝑓𝑑𝑡−𝑏^′(𝑎)¹₀𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡−𝑎^′(𝑏)¹₀𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑏)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2𝑎𝑓^′(𝑎)₀^1/2𝑡²(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑏)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)1𝛼+32^𝛼+3−𝑎𝑓−1^′(𝑏)(𝛼+3)2^𝛼+3−𝑏𝑓^′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑏)(𝛼+2)2^𝛼+2−𝑏𝑓^′(𝑏)(𝛼+1)2^𝛼+1≤ln𝑏−ln𝑎2×11−2^𝛼+1×𝑏𝑓^′(𝑏)+𝑏𝑓𝛼+1_′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑏)+𝑎𝑓𝛼+2_′(𝑎)−𝑎𝑓^′(𝑏)−𝑏𝑓^′(𝑎)−𝑎𝑓𝛼+3_′(𝑎)−𝑏𝑓^′(𝑎)(𝛼+3)2^𝛼+3+2𝑎𝑓^′(𝑎)()+𝑏𝑓𝛼+1)(𝛼+2)(𝛼+3_′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑎𝑓^′(𝑎)()+𝑓𝛼+1)(𝛼+32𝑎^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑎)2^𝛼+3()+𝑏𝑓𝛼+2)(𝛼+3_′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)2^𝛼+2()+𝑎𝑓𝛼+2^′(𝑎)(𝛼+1)2^𝛼+2−𝑎𝑓^′(𝑎)(𝛼+2)²2^𝛼+2. (13) The proof is done.

Theorem 11. Let 𝑓∶[0,𝑏]→ℝ⁺ be a differentiable mapping. If |𝑓^′|^𝑞 is measurable and |𝑓^′|^𝑞, (𝑞>1) is GG-convex on [𝑎,𝑏] for some fired 𝛼∈(0,∞) and 𝑡∈[0,1], 0≤𝑎<𝑏, then the following integrals hold:𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2−Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎≤)ln𝑏−ln𝑎2𝑓^′(𝑎)^𝑞+2𝑓^′(𝑏)^𝑞−𝑓^′(𝑏)^𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝𝛼+2^𝑝−𝑝𝛼+12𝑏^𝑝+𝑎^𝑝2^𝑝𝛼+2+𝑝𝛼+12𝑏^𝑝−𝑎^𝑝2^𝑝𝛼+2−𝑎𝑝𝛼+2^𝑝−𝑎𝑝𝛼𝑝𝛼+1_𝑝+𝑏^𝑝2^𝑝𝛼+2+𝑝𝛼+1𝑝𝛼+22𝑎^𝑝𝑝𝛼+1𝑝𝛼+2^1/𝑝, (14) where 1/𝑝+1/𝑞=1.

Proof. By using Definition 4 and Lemmas 1 and 6, we have 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2−Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎≤)ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑝𝑡𝑏^{𝑝(1−𝑡)}(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑝𝑑𝑡^1/𝑝×¹₀𝑓^′(𝑎)^𝑞𝑡𝑓^′(𝑏)^{𝑞(1−𝑡)}𝑑𝑡^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2×¹₀𝑡𝑎^𝑝+(1−𝑡)𝑏^𝑝(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑝𝑑𝑡^1/𝑝×¹₀𝑡𝑓^′(𝑎)^𝑞+(1−𝑡)𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑑𝑡^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2×¹_1/2𝑡𝑎^𝑝+(1−𝑡)𝑏^𝑝𝑡^𝑝𝑎−(1−𝑡)^𝑝𝑎+𝑑𝑡_01/2𝑡𝑎^𝑝+(1−𝑡)𝑏^𝑝(1−𝑡)^𝑝𝛼−𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡^1/𝑝×𝑓^′(𝑎)^𝑞2+𝑓^′(𝑏)^𝑞−𝑓^′(𝑏)^𝑞2^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2𝑓^′(𝑎)^𝑞+2𝑓^′(𝑏)^𝑞−𝑓^′(𝑏)^𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝1_1/2𝑡^𝑝𝛼+1𝑑𝑡−𝑎^𝑝1_1/2𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡+𝑏^𝑝1_1/2𝑡^𝑝𝛼(1−𝑡)𝑑𝑡−𝑏^𝑝1_1/2(1−𝑡)^𝑝𝛼+1𝑑𝑡+𝑎^𝑝₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡−𝑎^𝑝₀^1/2𝑡^𝑝𝛼+1𝑑𝑡+𝑏^𝑝₀^1/2(1−𝑡)^𝑝𝛼+1𝑑𝑡−𝑏^𝑝₀^1/2𝑡^𝑝𝛼(1−𝑡)𝑑𝑡^1/𝑝≤ln𝑏−ln𝑎2𝑓^′(𝑎)^𝑞+2𝑓^′(𝑏)^𝑞−𝑓^′(𝑏)^𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝𝑝𝛼+2−𝑎^𝑝1₀𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼−1𝑑𝑡+𝑎^𝑝₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑏𝑑𝑡+^𝑝−1𝑝𝛼+12^𝑝𝛼+1𝑏^𝑝−𝑏𝑝𝛼+1^𝑝+1𝑝𝛼+22^𝑝𝛼+2𝑏^𝑝𝑝𝛼+2+𝑎^𝑝₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼1𝑑𝑡−2^𝑝𝛼+2𝑎^𝑝+1𝑝𝛼+22^𝑝𝛼+2𝑏^𝑝−𝑏𝑝𝛼+2𝑝𝛼^𝑝+2−𝑏^𝑝₀^1/2𝑡^𝑝𝛼(1−𝑡)𝑑𝑡^1/𝑝≤ln𝑏−ln𝑎2𝑓^′(𝑎)^𝑞+2𝑓^′(𝑏)^𝑞−𝑓^′(𝑏)^𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝𝛼+2^𝑝−𝑝𝛼+12𝑏^𝑝+𝑎^𝑝2^𝑝𝛼+2+𝑝𝛼+12𝑏^𝑝−𝑎^𝑝2^𝑝𝛼+2−𝑎𝑝𝛼+2^𝑝−𝑎𝑝𝛼𝑝𝛼+1_𝑝+𝑏^𝑝2^𝑝𝛼+2+𝑝𝛼+1𝑝𝛼+22𝑎^𝑝(𝑝𝛼+1)(𝑝𝛼+2)^1/𝑝. (15) The proof is done.

Theorem 12. Let 𝑓∶[0,𝑏]→ℝ⁺ be a differentiable mapping. If |𝑓^′| is measurable and |𝑓^′| is GG-convex on [𝑎,𝑏] for some fired 𝛼∈(0,∞), 𝑡∈[0,1] and 𝑘>0, 0≤𝑎<𝑏, then the following integrals hold: 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2−Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎𝑓)≤𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏×_∞𝑖=1)(−1)^𝑖−1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖+^∞_𝑖=1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−(1/2)^𝛼−1𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2()𝛼+1+21−1/2^𝛼𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏.) (16)

Proof. By using Definition 4 and Lemmas 1, 7, 8, and 9, we have 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2−Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎≤)ln𝑏−ln𝑎2¹_1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2₀^1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼×𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹_1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼×𝑓^′(𝑎)^𝑡𝑓^′(𝑏)^1−𝑡+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2₀^1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼×𝑓^′(𝑎)^𝑡𝑓^′(𝑏)^1−𝑡𝑓𝑑𝑡≤𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×¹_1/2𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×₀^1/2𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓𝑑𝑡≤𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×¹₀𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡𝑡^𝛼𝑑𝑡−2₀^1/2𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡𝑡^𝛼−𝑑𝑡₁₀𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡(1−𝑡)^𝛼𝑑𝑡+2₀^1/2𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡≤𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏×_∞𝑖=1)(−1)^𝑖−1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−^∞_𝑖=1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−12^𝛼𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2×^∞_𝑖=1−(1/2)ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖+2^∞_𝑖=0ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖×11−2^𝛼+𝑖𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2≤𝑏𝑓^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏×_∞𝑖=1)(−1)^𝑖−1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−^∞_𝑖=1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−12^𝛼𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2×^∞_𝑖=1−(1/2)ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖()+21−1/2^𝛼𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)+2^∞_𝑖=1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−12^𝛼𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2×^∞_𝑖=1(1/2)ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖≤𝑏𝑓^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏×_∞𝑖=1)(−1)^𝑖−1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖+^∞_𝑖=1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−(1/2)^𝛼−1𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2()𝛼+1+21−1/2^𝛼𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏.) (17) The proof is done.

Theorem 13. Let 𝑓∶[0,𝑏]→ℝ⁺ be a differentiable mapping. If |𝑓^′|^𝑞 is measurable and |𝑓^′|^𝑞, (𝑞>1) is GG-convex on [𝑎,𝑏], for some fired 𝛼∈(0,∞), 𝑡∈[0,1], and 𝑘>0, 0≤𝑎<𝑏, then the following integrals hold: 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2−Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎≤)ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−(1/2)^𝑝𝛼−1𝑎𝑏^𝑝/2−𝑎𝑝𝛼+1ln𝑏^𝑝−112^𝑝𝛼−1(𝑎𝑏)^𝑝/2+2𝑏^𝑝1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞, (18) where 1/𝑝+1/𝑞=1.

Proof. By using Definition 4 and Lemmas 1, 7, 8, and 9, we have 𝑓(𝑎)+𝑓(𝑏)2−Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎≤)ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑝𝑑𝑡^1/𝑝×∫¹₀𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑞𝑑𝑡^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2𝑏^𝑝1_1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡−𝑏^𝑝1_1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡+𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡−𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡^1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞×¹₀𝑓ln^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑡𝑑𝑡^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2𝑏^𝑝𝑎𝑏^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−𝑏^𝑝∞_𝑖=0ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−2𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡+2𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡^1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2×𝑏^𝑝𝑎𝑏^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼𝑏^𝑝𝑎𝑏^∞𝑝/2_𝑖=1−(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+2𝑏^𝑝∞_𝑖=0ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖×𝑎1−𝑏^𝑝/211−2^{𝑝𝛼+𝑖1/𝑝}×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=1−(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+2𝑏^𝑝∞_𝑖=0ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−2𝑏^𝑝𝑎𝑏^∞𝑝/2_𝑖=011−2^{𝑝𝛼+𝑖}ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖^1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=1−(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+2𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+2𝑏^𝑝ln(𝑎/𝑏)^𝑝−1−2𝑏^𝑝𝑎𝑏^∞𝑝/2_𝑖=011−2^{𝑝𝛼+𝑖}ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖^1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=1−(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=012^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+2𝑏^𝑝𝑎ln𝑏^{𝑝−11/𝑝}×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=1−(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=1(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼−1(𝑎𝑏)^𝑝/2𝑎ln𝑏^𝑝−1+2𝑏^𝑝𝑎ln𝑏^{𝑝−11/𝑝}×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖1−22^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^𝑝/21−𝑎𝑝𝛼+1ln𝑏^𝑝−112^𝑝𝛼−1(𝑎𝑏)^𝑝/2+2𝑏^𝑝1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−(1/2)^𝑝𝛼−1𝑎𝑏^𝑝/2−𝑎𝑝𝛼+1ln𝑏^𝑝−112^𝑝𝛼−1(𝑎𝑏)^𝑝/2+2𝑏^𝑝1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞. (19) The proof is done.

3. Main Results Based on Lemma 2

Theorem 14. Let 𝑓∶[0,𝑏]→ℝ⁺ be a differentiable mapping. If |𝑓^′| is measurable and |𝑓^′| is GG-convex on [𝑎,𝑏], for some fired 𝛼∈(0,∞) and 𝑡∈[0,1], 0≤𝑎<𝑏, then the following integrals hold: Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎)−𝑓𝑎+𝑏2≤𝑓^′(𝑏)−𝑓^′(𝑎)2+ln𝑏−ln𝑎2×11−2^𝛼+1×𝑏𝑓^′(𝑏)+𝑏𝑓𝛼+1^′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑏)+𝑎𝑓𝛼+2_′(𝑎)−𝑎𝑓^′(𝑏)−𝑏𝑓^′(𝑎)−𝑎𝑓𝛼+3_′(𝑎)−𝑏𝑓^′(𝑎)(𝛼+3)2^𝛼+3+2𝑎𝑓^′(𝑎)()+𝑏𝑓𝛼+1)(𝛼+2)(𝛼+3_′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑎𝑓^′(𝑎)()+𝑓𝛼+1)(𝛼+32𝑎^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑎)2^𝛼+3()+𝑏𝑓𝛼+2)(𝛼+3_′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)2^𝛼+2()+𝑎𝑓𝛼+2^′(𝑎)(𝛼+1)2^𝛼+2−𝑎𝑓^′(𝑎)(𝛼+2)²2^𝛼+2. (20)

Proof. By using Definition 4 and Lemmas 2 and 6, we have Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎)−𝑓𝑎+𝑏2≤𝑏−𝑎2¹₀𝑘𝑓^′(()𝑏+𝑡𝑎+1−𝑡)𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼×𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×¹_1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑑𝑡+₀^1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×¹_1/2𝑡^𝛼[(×𝑡𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]_′(𝑎)+(1−𝑡)𝑓^′(𝑏−)𝑑𝑡_11/2(1−𝑡)^𝛼[(×𝑡𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]_′(𝑎)+(1−𝑡)𝑓^′(𝑏+)𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2×₀^1/2(1−𝑡)^𝛼[(×𝑡𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]_′(𝑎)+(1−𝑡)𝑓^′(𝑏−)𝑑𝑡_01/2𝑡^𝛼[(×𝑡𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]_′(𝑎)+(1−𝑡)𝑓^′(𝑏≤)𝑑𝑡−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑓^′(𝑎)¹_1/2𝑡^𝛼+1[(+𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]𝑑𝑡_′(𝑏)¹_1/2(1−𝑡)𝑡^𝛼[(−𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]𝑑𝑡_′(𝑎)¹_1/2(1−𝑡)^𝛼𝑡[(−𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]𝑑𝑡_′(𝑏)¹_1/2(1−𝑡)^𝛼+1[(+𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2×𝑓^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼[(+𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]𝑑𝑡_′(𝑏)₀^1/2(1−𝑡)^𝛼+1[(−𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]𝑑𝑡_′(𝑎)₀^1/2𝑡^𝛼+1[(−𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]𝑑𝑡_′(𝑏)₀^1/2(1−𝑡)𝑡^𝛼[(≤𝑓𝑎𝑡+𝑏1−𝑡)]𝑑𝑡_′(𝑏)−𝑓^′(𝑎)2+ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)1𝛼+31−2^𝛼+3+𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+21−2^𝛼+2−𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+31−2^𝛼+3+𝑎𝑓^′(𝑏)1𝛼+21−2^𝛼+2−𝑎𝑓^′(𝑏)1𝛼+31−2^𝛼+3+𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+11−2^𝛼+1−2𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+21−2^𝛼+2+𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+31−2^𝛼+3−𝑎𝑓^′(𝑎)¹_1/2(1−𝑡)^𝛼𝑡²𝑓𝑑𝑡−𝑏^′(𝑎)¹_1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡−𝑎^′(𝑏)¹_1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1−𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)𝛼+3¹_1/2(𝛼+3)(1−𝑡)^𝛼+2+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)₀^1/2𝑡²(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑏)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)1𝛼+32^𝛼+3−𝑎𝑓−1^′(𝑎)1𝛼+32^𝛼+3−𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+22^𝛼+2+𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+32^𝛼+3−𝑎𝑓^′(𝑏)1𝛼+22^𝛼+2+𝑎𝑓^′(𝑏)1𝛼+32^𝛼+3−𝑏𝑓^′(𝑏)×1𝛼+12^𝛼+1+2𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+22^𝛼+2−𝑏𝑓^′(𝑎)1𝛼+32^𝛼+3≤𝑓^′(𝑏)−𝑓^′(𝑎)2+ln𝑏−ln𝑎2×(𝑎−𝑏)𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)1𝛼+31−2^𝛼+3+𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+11−2^𝛼+1+𝑏𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)+(𝑎−𝑏)𝑓^′(𝑏)×1𝛼+21−2^𝛼+2−𝑎𝑓^′(𝑎)¹₀(1−𝑡)^𝛼𝑡²𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑎)₀^1/2(1−𝑡)^𝛼𝑡²𝑓𝑑𝑡−𝑏^′(𝑎)¹₀𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡−𝑎^′(𝑏)¹₀𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑏)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1+ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)₀^1/2𝑡²(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑏)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)1𝛼+32^𝛼+3−𝑎𝑓−1^′(𝑏)(𝛼+3)2^𝛼+3−𝑏𝑓^′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑏)(𝛼+2)2^𝛼+2−𝑏𝑓^′(𝑏)(𝛼+1)2^𝛼+1≤𝑓^′(𝑏)−𝑓^′(𝑎)2+ln𝑏−ln𝑎2×(𝑎−𝑏)𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)1𝛼+31−2^𝛼+3+𝑏𝑓^′(𝑏)1𝛼+11−2^𝛼+1+𝑏𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)+(𝑎−𝑏)𝑓^′(𝑏)×1𝛼+21−2^𝛼+2−𝑎𝑓^′(𝑎)¹₀𝑡²(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑎)₀^1/2𝑡²(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡−𝑏^′(𝑎)¹₀𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡−𝑎^′(𝑏)¹₀𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑏)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2𝑎𝑓^′(𝑎)₀^1/2𝑡²(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑎)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1𝑓𝑑𝑡+𝑎^′(𝑏)₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝛼+1+𝑏𝑓𝑑𝑡_′(𝑏)1𝛼+32^𝛼+3−𝑎𝑓−1^′(𝑏)(𝛼+3)2^𝛼+3−𝑏𝑓^′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑏)(𝛼+2)2^𝛼+2−𝑏𝑓^′(𝑏)(𝛼+1)2^𝛼+1≤𝑓^′(𝑏)−𝑓^′(𝑎)2+ln𝑏−ln𝑎2×11−2^𝛼+1×𝑏𝑓^′(𝑏)+𝑏𝑓𝛼+1^′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑏)+𝑎𝑓𝛼+2_′(𝑎)−𝑎𝑓^′(𝑏)−𝑏𝑓^′(𝑎)−𝑎𝑓𝛼+3_′(𝑎)−𝑏𝑓^′(𝑎)(𝛼+3)2^𝛼+3+2𝑎𝑓^′(𝑎)()+𝑏𝑓𝛼+1)(𝛼+2)(𝛼+3_′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)−2𝑎𝑓^′(𝑎)()+𝑓𝛼+1)(𝛼+32𝑎^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏)−2𝑏𝑓^′(𝑎)2^𝛼+3()+𝑏𝑓𝛼+2)(𝛼+3_′(𝑎)+𝑎𝑓^′(𝑏)2^𝛼+2()+𝑎𝑓𝛼+2_′(𝑎)(𝛼+1)2^𝛼+2−𝑎𝑓^′(𝑎)(𝛼+2)²2^𝛼+2. (21) The proof is done.

Theorem 15. Let 𝑓∶[0,𝑏]→ℝ⁺ be a differentiable mapping. If |𝑓^′|^𝑞 is measurable and |𝑓^′|^𝑞, (𝑞>1) is GG-convex on [𝑎,𝑏], for some fired 𝛼∈(0,∞) and 𝑡∈[0,1], 0≤𝑎<𝑏, then the following integrals hold: Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎)−𝑓𝑎+𝑏2≤𝑓^′(𝑏)−𝑓^′(𝑎)2+ln𝑏−ln𝑎2×𝑓^′(𝑎)^𝑞+2𝑓^′(𝑎)^𝑞−𝑓^′(𝑎)^𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝𝛼+2^𝑝−𝑝𝛼+12𝑏^𝑝+𝑎^𝑝2^𝑝𝛼+2+𝑝𝛼+12𝑏^𝑝−𝑎^𝑝2^𝑝𝛼+2−𝑎𝑝𝛼+2^𝑝−𝑎𝑝𝛼𝑝𝛼+1_𝑝+𝑏^𝑝2^𝑝𝛼+2+𝑝𝛼+1𝑝𝛼+22𝑎^𝑝𝑝𝛼+1𝑝𝛼+2^1/𝑝, (22) where 1/𝑝+1/𝑞=1.

Proof. By using Definition 4 and Lemmas 2 and 6, we have Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎)−𝑓𝑎+𝑏2≤𝑏−𝑎2¹₀𝑘𝑓^′(()𝑏+𝑡𝑎+1−𝑡)𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡𝑏−𝑎2¹₀|𝑘|𝑓^′((+𝑎𝑡+𝑏1−𝑡))𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤()𝑑𝑡𝑏−𝑎2¹₀𝑓^′((+𝑎𝑡+𝑏1−𝑡))𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡−12𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏+)ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑝𝑑𝑡^1/𝑝×¹₀𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑞𝑑𝑡^1/𝑞≤−12𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏+)ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑝𝑡𝑏^{𝑝(1−𝑡)}(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑝𝑑𝑡^1/𝑝×¹₀𝑓^′(𝑎)^𝑞𝑡𝑓^′(𝑏)^{𝑞(1−𝑡)}𝑑𝑡^1/𝑞≤−12𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏+)ln𝑏−ln𝑎2×¹₀𝑡𝑎^𝑝+(1−𝑡)𝑏^𝑝(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑝𝑑𝑡^1/𝑝×¹₀𝑡𝑓^′(𝑎)^𝑞+(1−𝑡)𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑑𝑡^1/𝑞≤−12𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏+)ln𝑏−ln𝑎2×¹_1/2𝑡𝑎^𝑝+(1−𝑡)𝑏^𝑝𝑡^𝑝𝑎−(1−𝑡)^𝑝𝑎+𝑑𝑡_01/2𝑡𝑎^𝑝+(1−𝑡)𝑏^𝑝(1−𝑡)^𝑝𝛼−𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡^1/𝑝×𝑓^′(𝑎)^𝑞2+𝑓^′(𝑏)^𝑞−𝑓^′(𝑏)^𝑞2^1/𝑞≤−12𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏+)ln𝑏−ln𝑎2𝑓^′(𝑎)^𝑞+2𝑓^′(𝑏)^𝑞−𝑓^′(𝑏)^𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝1_1/2𝑡^𝑝𝛼+1𝑑𝑡−𝑎^𝑝1_1/2𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡+𝑏^𝑝1_1/2𝑡^𝑝𝛼(1−𝑡)𝑑𝑡−𝑏^𝑝1_1/2(1−𝑡)^𝑝𝛼+1𝑑𝑡+𝑎^𝑝₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡−𝑎^𝑝₀^1/2𝑡^𝑝𝛼+1𝑑𝑡+𝑏^𝑝₀^1/2(1−𝑡)^𝑝𝛼+1−𝑏^𝑝₀^1/2𝑡^𝑝𝛼(1−𝑡)𝑑𝑡^1/𝑝≤−12𝑓^′(𝑎)−𝑓^′(𝑏+)ln𝑏−ln𝑎2𝑓^′(𝑎)^𝑞+2𝑓^′(𝑏)^𝑞−𝑓^′(𝑏)^𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝𝑝𝛼+2−𝑎^𝑝1₀𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼−1𝑑𝑡+𝑎^𝑝₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑏𝑑𝑡+^𝑝−1𝑝𝛼+12^𝑝𝛼+1𝑏^𝑝−𝑏𝑝𝛼+1_𝑝+1𝑝𝛼+22^𝑝𝛼+2𝑏^𝑝𝑝𝛼+2+𝑎^𝑝₀^1/2𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼−1𝑑𝑡2^𝑝𝛼+2𝑎^𝑝+1𝑝𝛼+22^𝑝𝛼+2𝑏^𝑝−𝑏𝑝𝛼+2𝑝𝛼^𝑝+2−𝑏^𝑝₀^1/2𝑡^𝑝𝛼(1−𝑡)𝑑𝑡^1/𝑝≤𝑓^′(𝑏)−𝑓^′(𝑎)2+ln𝑏−ln𝑎2𝑓^′(𝑎)^𝑞+2𝑓^′(𝑏)^𝑞−𝑓^′(𝑏)^𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝𝛼+2^𝑝−𝑝𝛼+12𝑏^𝑝+𝑎^𝑝2^𝑝𝛼+2+𝑝𝛼+12𝑏^𝑝−𝑎^𝑝2^𝑝𝛼+2−𝑎𝑝𝛼+2^𝑝−𝑎𝑝𝛼𝑝𝛼+1_𝑝+𝑏^𝑝2^𝑝𝛼+2+𝑝𝛼+1𝑝𝛼+22𝑎^𝑝𝑝𝛼+1𝑝𝛼+2^1/𝑝. (23) The proof is done.

Theorem 16. Let 𝑓∶[0,𝑏]→ℝ⁺ be a differentiable mapping. If |𝑓^′| is measurable and |𝑓^′| is GG-convex on [𝑎,𝑏], for some fired 𝛼∈(0,∞) and 𝑡∈[0,1], 0≤𝑎<𝑏, then the following integrals hold: Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎)−𝑓𝑎+𝑏2≤12𝑓^′(𝑏)−𝑓^′(𝑎𝑓)+𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖+^∞_𝑖=1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−(1/2)^𝛼−1𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2()𝛼+1+21−1/2^𝛼𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏.) (24)

Proof. By using Definition 4 and Lemmas 2, 7, 8, and 9, we have Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎)−𝑓𝑎+𝑏2≤𝑏−𝑎2¹₀𝑘𝑓^′(()𝑏)+𝑡𝑎+1−𝑡𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼×𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×¹_1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡+𝑑𝑡_01/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×¹_1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼𝑓^′(𝑎)^𝑡𝑓^′(𝑏)^1−𝑡+𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2×₀^1/2𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′(𝑎)^𝑡𝑓^′(𝑏)^1−𝑡≤𝑑𝑡−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏𝑓))+𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×¹_1/2𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡𝑡^𝛼−(1−𝑡)^𝛼𝑓𝑑𝑡+𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×₀^1/2𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼≤1𝑑𝑡2𝑓(𝑏−𝑓(𝑎𝑓))+𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×¹₀𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡𝑡^𝛼−𝑑𝑡₁₀𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡(1−𝑡)^𝛼𝑑𝑡−2₀^1/2𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡𝑡^𝛼𝑑𝑡+2₀^1/2𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑡(1−𝑡)^𝛼≤1𝑑𝑡2𝑓(𝑏−𝑓(𝑎𝑓))+𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−^∞_𝑖=1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−12^𝛼−1𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2×^∞_𝑖=1−(1/2)ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖+2^∞_𝑖=0ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖×11−2^𝛼+𝑖𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2≤12𝑓^′(𝑏)−𝑓^′(𝑎𝑓)+𝑏^′(𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×𝑎𝑓^′(𝑎)𝑏𝑓^′(𝑏)^∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖+^∞_𝑖=1ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^𝑖−1(𝛼+1)_𝑖−(1/2)^𝛼−1𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2()𝛼+1+21−1/2^𝛼𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏)^1/2ln𝑎𝑓^′(𝑎)/𝑏𝑓^′(𝑏.) (25) The proof is done.

Theorem 17. Let 𝑓∶[0,𝑏]→ℝ⁺ be a differentiable mapping. If |𝑓^′|^𝑞 is measurable and |𝑓^′|^𝑞, (𝑞>1) is GG-convex on [𝑎,𝑏], for some fired 𝛼∈(0,∞) and 𝑡∈[0,1], 0≤𝑎<𝑏, then the following integrals hold: Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎)−𝑓𝑎+𝑏2≤12𝑓(𝑏−𝑓(𝑎+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−(1/2)^𝑝𝛼−1𝑎𝑏^𝑝/2−𝑎𝑝𝛼+1ln𝑏^𝑝−112^𝑝𝛼−1(𝑎𝑏)^𝑝/2+2𝑏^𝑝1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞, (26) where 1/𝑝+1/𝑞=1.

Proof. By using Definition 4 and Lemmas 2, 7, 8, and 9, we have Γ(𝛼+1)2(ln𝑏−ln𝑎)^𝛼𝐻𝐽^𝛼_𝑎+𝑓(𝑏)+_𝐻𝐽^𝛼_𝑏⁻𝑓(𝑎)−𝑓𝑎+𝑏2≤𝑏−𝑎2¹₀𝑘𝑓^′(()𝑏+𝑡𝑎+1−𝑡)𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡𝑏−𝑎2¹₀|𝑘|𝑓^′(()𝑏+𝑡𝑎+1−𝑡)𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡≤𝑑𝑡𝑏−𝑎2¹₀|𝑘|𝑓^′(()𝑏+𝑡𝑎+1−𝑡)𝑑𝑡ln𝑏−ln𝑎2¹₀𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡(1−𝑡)^𝛼−𝑡^𝛼𝑝𝑑𝑡^1/𝑝×¹₀𝑓^′𝑎^𝑡𝑏^1−𝑡𝑞𝑑𝑡^1/𝑞≤−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑏^𝑝1_1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡−𝑏^𝑝1_1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡+𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡−𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡^1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞1₀𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑡𝑑𝑡^1/𝑞≤−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑏^𝑝1₀𝑎𝑏^𝑝𝑡𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡−𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡−𝑏^𝑝1₀𝑎𝑏^𝑝𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡+₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡+𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡−𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡^1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑏^𝑝𝑎𝑏^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−𝑏^𝑝∞_𝑖=0ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−2𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡𝑡^𝑝𝛼𝑑𝑡+2𝑏^𝑝₀^1/2𝑎𝑏^𝑝𝑡(1−𝑡)^𝑝𝛼𝑑𝑡^1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑏^𝑝𝑎𝑏^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼𝑏^𝑝𝑎𝑏^∞𝑝/2_𝑖=1−(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+2𝑏^𝑝∞_𝑖=0ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖𝑎1−𝑏^𝑝/211−2^{𝑝𝛼+𝑖1/𝑝}×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=1−(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+2𝑏^𝑝∞_𝑖=0ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−2𝑏^𝑝𝑎𝑏^∞𝑝/2_𝑖=011−2^{𝑝𝛼+𝑖}ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖^1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤−12𝑓(𝑎−𝑓(𝑏+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=1−(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+2𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+2𝑏^𝑝𝑎ln𝑏^𝑝−1−2𝑏^𝑝𝑎𝑏^∞𝑝/2_𝑖=011−2^{𝑝𝛼+𝑖}ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖^1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤12𝑓(𝑏−𝑓(𝑎+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=1−(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼(𝑎𝑏)^∞𝑝/2_𝑖=1(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−12^𝑝𝛼−1(𝑎𝑏)^𝑝/2𝑎ln𝑏^𝑝−1+2𝑏^𝑝𝑎ln𝑏^{𝑝−11/𝑝}×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞≤12𝑓(𝑏−𝑓(𝑎+))ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑝∞_𝑖=1(−1)^𝑖−1(1/2)ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖+𝑏^𝑝∞_𝑖=1ln(𝑎/𝑏)^𝑝𝑖−1𝑝𝛼+1_𝑖−(1/2)^𝑝𝛼−1𝑎𝑏^𝑝/2−𝑎𝑝𝛼+1ln𝑏^𝑝−112^𝑝𝛼−1(𝑎𝑏)^𝑝/2+2𝑏^𝑝1/𝑝×𝑓^′(𝑏)^𝑞ln𝑓^′(𝑎)/𝑓^′(𝑏)^𝑞𝑓^′(𝑎)𝑓^′(𝑏)^𝑞−1^1/𝑞. (27) The proof is done.

4. Applications to Special Means

Consider the following special means (see [23]) for arbitrary real numbers 𝑥,𝑦,𝑥≠𝑦 as follows:(M₁)𝐴(𝑥,𝑦)=(𝑥+𝑦)/2, 𝑥,𝑦∈ℝ;(M₂)𝐻(𝑥,𝑦)=2/(1/𝑥+1/𝑦), 𝑥,𝑦∈ℝ⧵{0};(M₃)𝐺(𝑥,𝑦)=√𝑥𝑦;(M₄)𝐿(𝑥,𝑦)=(𝑦−𝑥)/(ln|𝑦|−ln|𝑥|), |𝑥|≠|𝑦|, 𝑥𝑦≠0;(M₅)𝐿_𝑛(𝑥,𝑦)=[(𝑦^𝑛+1−𝑥^𝑛+1)/(𝑛+1)(𝑦−𝑥)]^1/𝑛, 𝑛∈ℤ⧵{−1,0}, 𝑥,𝑦∈ℝ, 𝑥≠𝑦.

We give some applications to special means of real numbers.

Proposition 18. Let 𝑎,𝑏∈ℝ⁺⧵{0}, 0≤𝑎<𝑏, 𝑥∈[0,𝑏]. Then, |𝐴(𝑎,𝑏)−𝐿(𝑎,𝑏)|≤ln𝑏−ln𝑎263𝑎−𝑏;|𝐴()(≤192𝑎,𝑏−𝐿𝑎,𝑏)|ln𝑏−ln𝑎212^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝+2^𝑝−𝑝+12𝑏^𝑝+𝑎^𝑝2^𝑝+1−𝑏𝑝+1_𝑝−𝑎^𝑝2^𝑝+2+𝑎𝑝+2^𝑝−𝑎𝑝+1𝑝+2_𝑝2^𝑝+1𝑝+1𝑝+2^1/𝑝;|𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴(𝑎,𝑏)|≤ln𝑏−ln𝑎263𝑎−𝑏;|𝐿()(≤192𝑎,𝑏−𝐴𝑎,𝑏)|ln𝑏−ln𝑎212^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝+2^𝑝−𝑝+12𝑏^𝑝+𝑎^𝑝2^𝑝+1−𝑏𝑝+1_𝑝−𝑎^𝑝2^𝑝+2+𝑎𝑝+2^𝑝−𝑎𝑝+1𝑝+2_𝑝2^𝑝+1(𝑝+1)(𝑝+2)^1/𝑝;|𝐴(𝑎,𝑏)−𝐿(𝑎,𝑏)|≤𝑏ln𝑏−ln𝑎2×𝑎/𝑏−1()()ln𝑎/𝑏+2𝑎/𝑏^1/2−𝑎/𝑏+(𝑎/𝑏)²−1(ln(𝑎/𝑏))². (28) By using Lemmas 7, 8, and 9, we have |𝐴(𝑎,𝑏)−𝐿(𝑎,𝑏)|≤𝑏ln𝑏−ln𝑎2×𝐼𝑎𝑝+1−𝐻𝑝+1,𝑏^𝑝,12𝑎−2𝐽𝑝+1,𝑏^𝑝𝑎+2𝑏𝑅𝑝+1,𝑏^𝑝,12^1/𝑝;|𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴(𝑎,𝑏)|≤𝑏ln𝑏−ln𝑎2×𝑎/𝑏−1()()ln𝑎/𝑏+2𝑎/𝑏^1/2−𝑎/𝑏+(𝑎/𝑏)²−1(ln(𝑎/𝑏))²;|𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴(𝑎,𝑏)|≤𝑏ln𝑏−ln𝑎2×𝐼𝑎𝑝+1−𝐻𝑝+1,𝑏^𝑝,12𝑎−2𝐽𝑝+1,𝑏^𝑝𝑎+2𝑏𝑅𝑝+1,𝑏^𝑝,12^1/𝑝. (29)

Proof. Applying Theorems 10, 11, 14, 15, 12, 13, 16, and 17, for 𝑓(𝑥)=𝑥 and 𝛼=1, one can obtain the results immediately.

Proposition 19. Let 𝑎,𝑏∈ℝ⁺⧵{0}, 0≤𝑎<𝑏, 𝑥∈[0,𝑏], 𝑛≥2. Then, 𝐴𝑎^𝑛,𝑏^𝑛−𝐿^𝑛−1_𝑛−1()𝐿(≤𝑎,𝑏𝑎,𝑏)ln𝑏−ln𝑎222𝑛𝑎^𝑛+12𝑛𝑏𝑎^𝑛−1+9𝑛𝑎𝑏^𝑛−1−12𝑛𝑏^𝑛;𝐴𝑎96_𝑛,𝑏^𝑛−𝐿^𝑛−1_𝑛−1()𝐿(≤𝑎,𝑏𝑎,𝑏)ln𝑏−ln𝑎2𝑛^𝑞𝑎^{𝑞(𝑛−1)}+𝑛^𝑞𝑏^{𝑞(𝑛−1)}2^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝+2^𝑝−1𝑝+12^𝑝+1𝑏^𝑝+1𝑝+12^𝑝+2𝑏^𝑝−𝑎^𝑝−1𝑝+22^𝑝+31−𝑎𝑝+3_𝑝+𝑝(𝑝+1)2𝑎^𝑝(𝑝+1)(𝑝+2)^1/𝑝;𝐿^𝑛−1_𝑛−1(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴^𝑛≤𝑥,𝑦𝑛𝑏^𝑛−1−𝑛𝑎^𝑛−12+ln𝑏−ln𝑎222𝑛𝑎^𝑛+12𝑛𝑏𝑎^𝑛−1+9𝑛𝑎𝑏^𝑛−1−12𝑛𝑏^𝑛;𝐿96_{𝑛−1𝑛−1}(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴^𝑛≤𝑥,𝑦𝑛𝑏^𝑛−1−𝑛𝑎^𝑛−12+ln𝑏−ln𝑎2𝑛^𝑞𝑎^{𝑞(𝑛−1)}+𝑛^𝑞𝑏^{𝑞(𝑛−1)}2^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝+2^𝑝−1𝑝+12^𝑝+1𝑏^𝑝+1𝑝+12^𝑝+2𝑏^𝑝−𝑎^𝑝−1𝑝+22^𝑝+31−𝑎𝑝+3_𝑝+𝑝(𝑝+1)2𝑎^𝑝(𝑝+1)(𝑝+2)^1/𝑝;𝐴𝑎^𝑛,𝑏^𝑛−𝐿^𝑛−1_𝑛−1(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)≤𝑛𝑏^𝑛ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑛/𝑏^𝑛−1ln𝑎^𝑛/𝑏^𝑛+4𝑎^𝑛/𝑏^𝑛−2𝑎^𝑛/𝑏^𝑛−2ln𝑎^𝑛/𝑏^𝑛2. (30) By using Lemmas 7, 8, and 9, we have 𝐴𝑎^𝑛,𝑏^𝑛−𝐿^𝑛−1_𝑛−1(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)≤𝑏ln𝑏−ln𝑎2𝐼𝑎𝑝+1−𝐻𝑝+1,𝑏^𝑝,12𝑎−2𝐽𝑝+1,𝑏^𝑝𝑎+2𝑏𝑅𝑝+1,𝑏^𝑝,12^1/𝑝×𝑛𝑏^𝑛−1𝑞ln𝑎^𝑛−1/𝑏^𝑛−1𝑞𝑎^𝑛−1𝑏^𝑛−1𝑞−1^1/𝑞;𝐿^𝑛−1_𝑛−1(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴^𝑛≤𝑥,𝑦𝑛𝑏^𝑛−1−𝑛𝑎^𝑛−12+𝑛𝑏^𝑛ln𝑏−ln𝑎2×𝑎^𝑛/𝑏^𝑛−1ln𝑎^𝑛/𝑏^𝑛+4𝑎^𝑛/𝑏^𝑛−2𝑎^𝑛/𝑏^𝑛−2ln𝑎^𝑛/𝑏^𝑛2;𝐿^𝑛−1_𝑛−1(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴^𝑛≤𝑥,𝑦𝑛𝑏^𝑛−1−𝑛𝑎^𝑛−12+𝑏ln𝑏−ln𝑎2𝐼𝑎𝑝+1−𝐻𝑝+1,𝑏^𝑝,12𝑎−2𝐽𝑝+1,𝑏^𝑝𝑎+2𝑏𝑅𝑝+1,𝑏^𝑝,12^1/𝑝×𝑛𝑏^𝑛−1𝑞ln𝑎^𝑛−1/𝑏^𝑛−1𝑞𝑎^𝑛−1𝑏^𝑛−1𝑞−1^1/𝑞. (31)

Proof. Applying Theorems 10, 11, 14, 15, 12, 13, 16, and 17 for 𝑓(𝑥)=𝑥^𝑛 and 𝛼=1, one can obtain the results immediately.

Proposition 20. Let 𝑎,𝑏∈ℝ⁺⧵{0}, 0≤𝑎<𝑏, 𝑥∈[0,𝑏], 𝑛≥2. Then, 𝐻⁻¹(𝑎,𝑏)−𝐺⁻²()𝐿(≤𝑎,𝑏𝑎,𝑏)ln𝑏−ln𝑎2×450(1/𝑎)+60𝑎/𝑏²−30𝑏/𝑎²−32(1/𝑎)+42(1/𝑎)(1920)⁻¹;𝐻⁻¹(𝑎,𝑏)−𝐺⁻²()𝐿(≤𝑎,𝑏𝑎,𝑏)ln𝑏−ln𝑎2𝑎^−2𝑞+𝑏^−2𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝+2^𝑝−1𝑝+12^𝑝+22𝑎^𝑝+3𝑏^𝑝+1𝑝+12^𝑝+22𝑏^𝑝−𝑎^𝑝−1𝑝+2𝑝−𝑝+12𝑎^𝑝+𝑏^𝑝2^𝑝+2(𝑝+1)(𝑝+2)^1/𝑝;𝐺⁻²(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴⁻¹(≤𝑏𝑎,𝑏)₂−𝑎²2𝑎²𝑏²+ln𝑏−ln𝑎2×450(1/𝑎)+60𝑎/𝑏²−30𝑏/𝑎²−32(1/𝑎)+42(1/𝑎)(1920)⁻¹;𝐺⁻²(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴⁻¹(≤𝑏𝑎,𝑏)₂−𝑎²2𝑎²𝑏²+ln𝑏−ln𝑎2𝑎^−2𝑞+𝑏^−2𝑞2^1/𝑞×𝑎^𝑝−2𝑏^𝑝+𝑏𝑝+2^𝑝−1𝑝+12^𝑝+22𝑎^𝑝+3𝑏^𝑝+1𝑝+12^𝑝+22𝑏^𝑝−𝑎^𝑝−1𝑝+2𝑝−𝑝+12𝑎^𝑝+𝑏^𝑝2^𝑝+2𝑝+1𝑝+2^1/𝑝;𝐻⁻¹(𝑎,𝑏)−𝐺⁻²()𝐿(≤𝑎,𝑏𝑎,𝑏)ln𝑏−ln𝑎2𝑏𝑏/𝑎−1()+4()ln𝑏/𝑎𝑏/𝑎^1/2−2(𝑏/𝑎)−2(ln(𝑏/𝑎))². (32) By using Lemmas 7, 8, and 9, we have 𝐻⁻¹(𝑎,𝑏)−𝐺⁻²(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)≤𝑏ln𝑏−ln𝑎2𝐼𝑎𝑝+1−𝐻𝑝+1,𝑏^𝑝,12𝑎−2𝐽𝑝+1,𝑏^𝑝𝑎+2𝑏𝑅𝑝+1,𝑏^𝑝,12^1/𝑝×1/𝑏^2𝑞ln𝑏²/𝑎^2𝑞𝑏²𝑎^2𝑞−1^1/𝑞;𝐺⁻²(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴⁻¹(≤𝑏𝑎,𝑏)₂−𝑎²2𝑎²𝑏²+ln𝑏−ln𝑎2𝑏𝑏/𝑎−1()+4()ln𝑏/𝑎𝑏/𝑎^1/2−2(𝑏/𝑎)−2(ln(𝑏/𝑎))²;𝐺⁻²(𝑎,𝑏)𝐿(𝑎,𝑏)−𝐴⁻¹(≤𝑏𝑎,𝑏)₂−𝑎²2𝑎²𝑏²+𝑏ln𝑏−ln𝑎2𝐼𝑎𝑝+1−𝐻𝑝+1,𝑏^𝑝,12𝑎−2𝐽𝑝+1,𝑏^𝑝𝑎+2𝑏𝑅𝑝+1,𝑏^𝑝,12^1/𝑝×1/𝑏^2𝑞ln𝑏²/𝑎^2𝑞𝑏²/𝑎^2𝑞−1^1/𝑞. (33)

Proof. Applying Theorems 10, 11, 14, 15, 12, 13, 16, and 17 for 𝑓(𝑥)=1/𝑥 and 𝛼=1, one can obtain the results immediately.

Conflict of Interests

The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this paper.

Acknowledgments

The authors thank the referees for their careful reading of the paper and insightful comments, which helped to improve the quality of the paper. They would also like to acknowledge the valuable comments and suggestions from the editors, which vastly contributed to improvement of the presentation of the paper. This work was supported in part by Key Project on the Reforms of Teaching Contents and Course System of Guizhou Normal College, Doctor Project of Guizhou Normal College (13BS010), Guizhou Province Education Planning Project (2013A062), and Key Support Subject (Applied Mathematics).