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Journal of Applied Mathematics
VolumeΒ 2012, Article IDΒ 835495, 21 pages
http://dx.doi.org/10.1155/2012/835495
Research Article

Existence of Solutions for the Evolution 𝑝(π‘₯)-Laplacian Equation Not in Divergence Form

Department of Mathematics, Jilin University, Changchun 130012, China

Received 31 October 2011; Accepted 6 December 2011

Academic Editor: Hui-ShenΒ Shen

Copyright Β© 2012 Changchun Liu et al. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited.

Abstract

The existence of weak solutions is studied to the initial Dirichlet problem of the equation 𝑒𝑑=𝑒div(|βˆ‡π‘’|𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’), with inf 𝑝(π‘₯)>2. We adopt the method of parabolic regularization. After establishing some necessary uniform estimates on the approximate solutions, we prove the existence of weak solutions.

1. Introduction

In this paper, we investigate the existence of solutions for the 𝑝(π‘₯)-Laplacian equationπœ•π‘’ξ‚€||||πœ•π‘‘=𝑒divβˆ‡π‘’π‘(π‘₯)βˆ’2ξ‚βˆ‡π‘’,(π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡.(1.1) The equation is supplemented the boundary condition𝑒(π‘₯,𝑑)=0,π‘₯βˆˆπœ•Ξ©,(1.2) and the initial condition𝑒(π‘₯,0)=𝑒0(π‘₯),π‘₯∈Ω,(1.3) where 𝑄𝑇=Ω×(0,𝑇), inf𝑝(π‘₯)>2, Ξ©βŠ‚π‘…π‘ is a bounded domain with smooth boundary πœ•Ξ© and 0≀𝑒0(π‘₯)∈𝐢(Ξ©)βˆ©π‘Š01,𝑝(π‘₯)(Ξ©).

In the case when 𝑝 is a constant, there have been many results about the existence, localization and extendibility and of weak solutions. We refer the readers to the bibiography given in [1–5] and the references therein.

A new interesting kind of fluids of prominent technological interest has recently emerged, the so-called electrorheological fluids. This model includes parabolic equations which are nonlinear with respect to the gradient of the thought solution, and with variable exponents of nonlinearity. The typical case is the so-called evolution 𝑝-Laplace equation with exponent 𝑝 as a function of the external electromagnetic field (see [6–12] and the references therein). In [6], the authors studied the regularity for the parabolic systems related to a class of non-Newtonian fluids, and the equations involved are nondegenerated.

On the other hand, there are also many results to the corresponding elliptic 𝑝(π‘₯)-Laplace equations [13–15].

In the present work, we will study the existence of the solutions to problem (1.1)–(1.3). As we know, when 𝑝 is a constant, the nondegenerate problems have classical solutions, and hence the weak solutions exist. But in the case of 𝑝(π‘₯)-Laplace type, there are no results to the corresponding non-degenerate problems. Since (1.1) degenerates whenever 𝑒=0 and βˆ‡π‘’=0, we need to regularize the problem in two aspects corresponding to two different degeneracy: the first is the initial and boundary value and the second is the equation. We will first consider the non-degenerate problems. Based on the uniform Schauder estimates and using the method of continuity, we obtain the existence of classical solutions for non-degenerate problems. After establishing some necessary uniform estimates on the approximate solutions, we prove the existence of weak solutions.

This paper is arranged as follows. We first state some auxiliary lemmas in Section 2, and then we study a general quasilinear equation in Section 3. Subsequently, we discuss the existence of weak solutions in Section 4.

2. Preliminaries

Denote that𝑝+=esssupΩ𝑝(π‘₯),π‘βˆ’=essinfΩ𝑝(π‘₯).(2.1)

Throughout the paper, we assume that2<π‘βˆ’β‰€π‘(π‘₯)≀𝑝+[],<∞,βˆ€(π‘₯,𝑑)βˆˆΞ©Γ—0,𝑇(2.2) where π‘βˆ’,𝑝+ are given constants.

To study our problems, we need to introduce some new function spaces. Denote that𝐿𝑝(π‘₯)ξ‚»(Ξ©)=π‘’βˆΆπ‘’isameasurablereal-valuedfunction,ξ€œΞ©||||𝑒(π‘₯)𝑝(π‘₯)ξ‚Ό,𝑑π‘₯<∞|𝑒|𝑝(π‘₯)ξ‚»ξ€œ=infπœ†βˆΆπœ†>0,Ξ©|||𝑒(π‘₯)πœ†|||𝑝(π‘₯)ξ‚Ό,𝐿𝑑π‘₯≀1𝑝(π‘₯)𝑄𝑇=ξ€½π‘’βˆΆ|𝑒|𝑝(π‘₯)∈𝐿1𝑄𝑇,𝐿𝑝(π‘₯)ξ‚€0,𝑇;π‘Š01,𝑝(π‘₯)=(Ξ©)π‘’βˆΆ|𝑒|𝑝(π‘₯)∈𝐿1𝑄𝑇,||||βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)∈𝐿1𝑄𝑇,𝑒|πœ•Ξ©ξ‚‡,𝐢=02π‘˜+𝛼,π‘˜+𝛼/2𝑄𝑇=ξ€½π‘’βˆΆπ‘’βˆˆπΆ2π‘˜,π‘˜ξ€·π‘„π‘‡ξ€Έ,π·π‘Ÿπ‘‘π·π‘ π‘₯π‘’βˆˆπΆπ›Ό,𝛼/2ξ€Ύ,𝐢,2π‘Ÿ+𝑠=2π‘˜,0<𝛼≀12π‘˜,π‘˜ξ€·π‘„π‘‡ξ€Έ=ξ€½π‘’βˆΆπ·π‘Ÿπ‘‘π·π‘ π‘₯ξ€·π‘„π‘’βˆˆπΆπ‘‡ξ€Έξ€Ύ,π‘Š,0≀2π‘Ÿ+𝑠≀2π‘˜1,𝑝(π‘₯)ξ€½(Ξ©)=π‘’βˆΆπ‘’βˆˆπΏπ‘(π‘₯)||||(Ξ©),βˆ‡π‘’βˆˆπΏπ‘(π‘₯)ξ€Ύ,(Ξ©)|𝑒|1,𝑝(π‘₯)=|𝑒|𝐿𝑝(π‘₯)(Ξ©)+||||βˆ‡π‘’πΏπ‘(π‘₯)(Ξ©),βˆ€π‘’βˆˆπ‘Š1,𝑝(π‘₯)(Ξ©).(2.3) We use π‘Š01,𝑝(π‘₯)(Ξ©) to denote the closure of 𝐢∞0(Ξ©) in π‘Š1,𝑝(π‘₯).

Remark 2.1. In [16, 17], Zhikov showed π‘Š01,𝑝(π‘₯)ξ€½(Ξ©)β‰ π‘£βˆΆπ‘£βˆˆπ‘Š1,𝑝(π‘₯)(Ξ©),𝑣|πœ•Ξ©ξ€Ύ.=0(2.4) Hence, the property of the space is different from the case when 𝑝 is a constant. This will bring us some difficulties in taking the limit of the weak solutions. Luckily, our approximating solutions are in π‘Š01,𝑝(π‘₯), and hence the limit function is also in π‘Š01,𝑝(π‘₯) which avoids the above difficulties.

We now give the definition of the solutions to our problem.

Definition 2.2. A nonnegative function π‘’βˆˆπΏβˆž(𝑄𝑇), |βˆ‡π‘’|βˆˆπΏπ‘(π‘₯)(𝑄𝑇), and π‘’π‘‘βˆˆπΏ2(𝑄𝑇) is said to be a weak solution of (1.1)–(1.3), if for all πœ‘βˆˆπΆβˆž0(𝑄𝑇) satisfies the following: ξ€π‘„π‘‡ξ‚€π‘’πœ‘π‘‘||||βˆ’π‘’βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)βˆ’2||||βˆ‡π‘’βˆ‡πœ‘βˆ’βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)πœ‘ξ‚π‘‘π‘₯𝑑𝑑=0,lim𝑑→0ξ€œΞ©||𝑒(π‘₯,𝑑)βˆ’π‘’0||(π‘₯)𝑑π‘₯=0.(2.5)

In the following, we state some of the properties of the function spaces introduced as above.

Proposition 2.3 (see [15, 18]). (i)The space (𝐿𝑝(π‘₯)(Ξ©),|β‹…|𝑝(π‘₯)) is a separable, uniform convex Banach space, and its conjugate space is πΏπ‘ž(π‘₯)(Ξ©), where 1/𝑝(π‘₯)+1/π‘ž(π‘₯)=1. For any π‘’βˆˆπΏπ‘(π‘₯)(Ξ©) and π‘£βˆˆπΏπ‘ž(π‘₯)(Ξ©), we have ||||ξ€œΞ©||||≀1𝑒𝑣𝑑π‘₯π‘βˆ’+1π‘žβˆ’ξ‚Ά|𝑒|𝑝(π‘₯)|𝑣|π‘ž(π‘₯).(2.6)(ii)If 𝑝1,𝑝2∈𝐢+(Ξ©),𝑝1(π‘₯)≀𝑝2(π‘₯) for any π‘₯∈Ω, then 𝐿𝑝2(π‘₯)β†ͺ𝐿𝑝1(π‘₯) and the imbedding continuous.(iii)There is a constant 𝐢>0, such that |𝑒|𝑝(π‘₯)||||β‰€πΆβˆ‡π‘’π‘(π‘₯),βˆ€π‘’βˆˆπ‘Š01,𝑝(π‘₯)(Ξ©).(2.7) This implies that |βˆ‡π‘’|𝑝(π‘₯) and ‖𝑒‖1,𝑝(π‘₯) are equivalent norms of π‘Š01,𝑝(π‘₯).(iv)We have ∫Ω|𝑒|𝑝(π‘₯)𝑑π‘₯β‰₯|𝑒|π‘βˆ’π‘(π‘₯)βˆ’1,forallπ‘’βˆˆπΏπ‘(π‘₯)(Ξ©).

Proposition 2.4 (see [18]). If we denote ξ€œπœŒ(𝑒)=Ξ©|𝑒|𝑝(π‘₯)𝑑π‘₯,βˆ€π‘’βˆˆπΏπ‘(π‘₯)(,Ξ©)(2.8) then(i)|𝑒|𝑝(π‘₯)<1(=1;>1)β‡”πœŒ(𝑒)<1(=1;>1), (ii)|𝑒|𝑝(π‘₯)>1β‡’|𝑒|π‘βˆ’π‘(π‘₯)β‰€πœŒ(𝑒)≀|𝑒|𝑝+𝑝(π‘₯), |𝑒|𝑝(π‘₯)<1β‡’|𝑒|π‘βˆ’π‘(π‘₯)β‰₯𝜌(𝑒)β‰₯|𝑒|𝑝+𝑝(π‘₯), (iii)|𝑒|𝑝(π‘₯)β†’0β‡”πœŒ(𝑒)β†’0;|𝑒|𝑝(π‘₯)β†’βˆžβ‡”πœŒ(𝑒)β†’βˆž.

Lemma 2.5 (see [4]). Let πœƒβ‰₯0,𝐴(πœ‚)=(𝐴1(πœ‚),…,𝐴𝑁(πœ‚))=(|πœ‚|2+πœƒ)(π‘βˆ’2)/2,πœ‚=(πœ‚1,…,πœ‚π‘)βˆˆπ‘…π‘. Then ξ‚ƒξ‚€πœ‚π΄(πœ‚)βˆ’π΄β€²β‹…ξ€Ίξ‚ξ‚„πœ‚βˆ’πœ‚ξ…žξ€»||||β‰₯πΆπœ‚βˆ’πœ‚β€²π‘,βˆ€πœ‚,πœ‚ξ…žβˆˆπ‘…π‘,(2.9) where 𝐢=𝐢(𝑝) is a positive constant depending on 𝑝.

3. A General Quasilinear Equation

Here, we will consider the general quasilinear equationsπ‘’π‘‘βˆ’π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯𝑒π‘₯𝑖,π‘₯𝑗+π‘Žπ‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯ξ€Έ=0,(3.1)𝑒|Γ𝑇||=πœ“Ξ“π‘‡,(3.2) where Γ𝑇=πœ•Ξ©Γ—(0,𝑇]βˆͺΩ×{0}.

Proposition 3.1 (see [19, Theorem  2.9 of Chapter I]). Let 𝑒(π‘₯,𝑑) be a classical solution of (3.1) in 𝑄𝑇. Suppose that the functions π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑝) and π‘Ž(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑑) take finite value for any finite 𝑒,𝑝, and (π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡, and that for (π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡ and arbitrary π‘’π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯,𝑑,𝑒,0)πœ‰π‘–πœ‰π‘—β‰₯0,π‘’π‘Ž(π‘₯,𝑑,𝑒,0)β‰₯βˆ’π‘1𝑒2βˆ’π‘2,(3.3) where 𝑏1 and 𝑏2 are nonnegative constants. Then max𝑄𝑇||||𝑒(π‘₯,𝑑)≀𝑀,(3.4) where 𝑀 depends only on 𝑏1,𝑏2,𝑇, and maxΓ𝑇|𝑒|.

We suppose that for (π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡,max𝑄𝑇|𝑒(π‘₯,𝑑)|≀𝑀 and arbitrary π‘ž the functions π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯,𝑑,𝑒,π‘ž),π‘Ž(π‘₯,𝑑,𝑒,π‘ž) are continuous in π‘₯,𝑑,𝑒,π‘ž, continuously differentiable with respect to π‘₯,𝑒, and π‘ž, and satisfy the inequalitiesπœˆξ€·||π‘ž||ξ€Έ1+π‘š(π‘₯,𝑑)βˆ’2πœ‰2β‰€π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯,𝑑,𝑒,π‘ž)πœ‰π‘–πœ‰π‘—β‰€πœ‡0ξ€·||π‘ž||ξ€Έ1+π‘š(π‘₯,𝑑)βˆ’2πœ‰2,||||πœ•π‘Žπ‘–π‘—πœ•π‘π‘˜||||ξ€·||π‘ž||ξ€Έ1+3||||+|π‘Ž|+πœ•π‘Žπœ•π‘žπ‘˜||||ξ€·||π‘ž||ξ€Έ1+β‰€πœ‡1ξ€·||π‘ž||ξ€Έ1+π‘š(π‘₯,𝑑),||||πœ•π‘Žπ‘–π‘—πœ•π‘₯π‘˜||||ξ€·||π‘ž||ξ€Έ1+2+||||πœ•π‘Žπœ•π‘₯π‘˜||||≀||π‘ž||||π‘ž||ξ€Έπœ€+𝑃1+π‘š(π‘₯,𝑑)+1,||||πœ•π‘Žπ‘–π‘—||||≀||π‘ž||||π‘ž||ξ€Έπœ•π‘’πœ€+𝑃1+π‘š(π‘₯,𝑑)βˆ’2,βˆ’πœ•π‘Žβ‰€ξ€·ξ€·||π‘ž||||π‘ž||ξ€Έπœ•π‘’πœ€+𝑃1+π‘š(π‘₯,𝑑),(3.5) where 𝑃(𝜌) is a nonnegative continuous function that tends to zero for πœŒβ†’βˆž and 1<π‘š(π‘₯,𝑑)∈𝐢1(𝑄𝑇) is an arbitrary function.

Lemma 3.2. Let 𝑒(π‘₯,𝑑) be a classical solution of (3.1) in 𝑄𝑇. Suppose that the conditions of Proposition 3.1 hold and satisfy (3.5) with a sufficiently small πœ€ determined by the numbers 𝑀, 𝜈, πœ‡, πœ‡1, and 𝑃=max𝜌β‰₯0𝑃(𝜌).(3.6) Then max𝑄𝑇||𝑒π‘₯||(π‘₯,𝑑)≀𝑀1.(3.7)

The proof of Lemma 3.2 is quite similar to the Theorem  4.1, chapter VI of [19]; one only has to replace π‘š with π‘š(π‘₯,𝑑) and remark that the constants in the proof are depending only on infπ‘š(π‘₯,𝑑) and supπ‘š(π‘₯,𝑑); we omit the details.

Theorem 3.3. Suppose that the following conditions are fulfilled.(a)For (π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡ and arbitrary 𝑒 either conditions (3.3) are fulfilled.(b)For (π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡, |𝑒|≀𝑀 (where 𝑀 is taken from estimate (3.4)) and arbitrary 𝑝, the functions π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑝) and π‘Ž(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑝) are continuous and differentiable with respect to π‘₯, 𝑒, and 𝑝 and satisfy inequalities (3.5) with a sufficiently small πœ€ determined by the numbers 𝑀, 𝜈, πœ‡, πœ‡1, and 𝑃=max𝜌β‰₯0𝑃(𝜌).(3.8)(c)For (π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡|𝑒|≀𝑀 and |𝑝|≀𝑀1 (where 𝑀1 is taken from estimate (3.7)), the functions π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑝) and π‘Ž(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑝) are continuously differentiable with respect to all of their arguments.(d)The boundary condition (3.2) is given by a function πœ“(π‘₯,𝑑) belonging to 𝐢2+𝛽,1+𝛽/2(𝑄𝑇) and satisfying on 𝑆0={(π‘₯,𝑑)∢π‘₯βˆˆπœ•Ξ©,𝑑=0} (3.1), that is, πœ“π‘‘βˆ’π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,0,πœ“(π‘₯,0),πœ“π‘₯ξ€Έπœ“(π‘₯,0)π‘₯𝑖π‘₯𝑗||+π‘Ž(π‘₯,0,πœ“(π‘₯,0))π‘₯βˆˆπœ•Ξ©=0(3.9) (in other words, the compatibility conditions of zero and first orders are assumed to be fulfilled).(e)We have πœ•Ξ©βˆˆπΆ2+𝛽.
Then there exists a unique solution of problem (3.1) and (3.2) in the space 𝐢2+𝛽,1+𝛽/2(𝑄𝑇). This solution has derivatives 𝑒𝑑π‘₯𝑖 from 𝐿2(𝑄𝑇).

Proof. We consider problem (3.1) and (3.2) along with a one-parameter family of problems of the same type πΏπœπ‘’=π‘’π‘‘βˆ’ξ‚ƒπœπ‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯ξ€Έξ€·+(1βˆ’πœ)1+𝑒2π‘₯ξ€Έπ‘š(π‘₯)/2βˆ’1𝛿𝑗𝑖𝑒π‘₯𝑖π‘₯𝑗+πœπ‘Žπ‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯ξ€Έξ‚ƒπœ“βˆ’(1βˆ’πœ)π‘‘βˆ’ξ€·1+πœ“2π‘₯ξ€Έπ‘š(π‘₯)/2βˆ’1ξ‚„Ξ”πœ“=0,𝑒|Γ𝑇||=πœ“Ξ“π‘‡,0β‰€πœβ‰€1,assumingπœ“βˆˆπΆ2+𝛽,1+𝛽/2𝑄𝑇.(3.10) Define the Banach space 𝑋=π‘€βˆˆπΆ1+𝛼,(1+𝛼)/2𝑄𝑇|||𝑀|Γ𝑇.=0(3.11) For any π‘€βˆˆπ‘‹, let 𝑣=𝑀+πœ“. Using Schauder theory, the linear problem π‘£π‘‘βˆ’ξ‚ƒπœπ‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,𝑀,𝑀π‘₯ξ€Έξ€·+(1βˆ’πœ)1+𝑀2π‘₯ξ€Έπ‘š(π‘₯)/2βˆ’1𝛿𝑗𝑖𝑣π‘₯𝑖π‘₯𝑗+πœπ‘Žπ‘₯,𝑑,𝑀,𝑀π‘₯ξ€Έξ‚ƒπœ“βˆ’(1βˆ’πœ)π‘‘βˆ’ξ€·1+πœ“2π‘₯ξ€Έπ‘š(π‘₯)/2βˆ’1ξ‚„Ξ”πœ“=0,𝑒|Γ𝑇||=πœ“Ξ“π‘‡(3.12) admits a unique solution π‘’βˆˆπΆ2+𝛼,1+𝛼/2(𝑄𝑇). Let 𝑧=π‘’βˆ’πœ“, clearly π‘§βˆˆπ‘‹, and define the map πΊβˆΆπ‘‹β†’π‘‹ such that 𝑧=𝐺(𝑀). By [19], we know that 𝐺 is continuous and compact. By Proposition 3.1, Lemma 3.2, and the Leray-Schauder fixed point principle, the operator 𝐺 has a fixed point 𝑒.

4. Existence

In this section, we are going to prove the existence of solutions of the problem (1.1)–(1.3).

Theorem 4.1. Assume that 𝑝(π‘₯)∈𝐢1(Ξ©),inf𝑝(π‘₯)>2, and 0≀𝑒0(π‘₯)∈𝐢(Ξ©)βˆ©π‘Š01,𝑝(π‘₯)(Ξ©). Then the problem (1.1)–(1.3) admits a weak solution 𝑒.

Consider the following problem:πœ•π‘’πœ€,πœ‚πœ•π‘‘=π‘’πœ€,πœ‚ξ‚΅ξ‚€||divβˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Ά,(4.1)π‘’πœ€,πœ‚||𝑆𝑇=πœ€,π‘’πœ€,πœ‚||𝑑=0=𝑒0+πœ€,(4.2) where 𝑆𝑇=πœ•Ξ©Γ—(0,𝑇], πœ€βˆˆ(0,1), and πœ‚βˆˆ(0,πœ€). Roughly speaking, here we use to regularize the initial-boundary value and use πœ‚ to regularize the equation. Thus, we have to carry out two limit processes, that is, first let πœ‚β†’0 (along a certain subsequence) and then let πœ€β†’0.

We first change (4.1) into the formπ‘’π‘‘βˆ’π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯𝑒π‘₯𝑖,π‘₯𝑗+π‘Žπ‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯ξ€Έ=0,(4.3) whereπ‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯ξ€Έ=𝑒𝛿𝑖𝑗||||βˆ‡π‘’2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2ξ‚€||||+𝑒(𝑝(π‘₯)βˆ’2)βˆ‡π‘’2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’4)/2πœ•π‘–π‘’πœ•π‘—π‘Žξ€·π‘’,π‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯ξ€Έ1=𝑒2ξ‚€||||βˆ‡π‘’2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2πœ•π‘–π‘(π‘₯)πœ•π‘–ξ‚€||||𝑒lnβˆ‡π‘’2.+πœ‚(4.4) It is easily seen that (4.4) satisfies (3.3) and (3.5), where 𝑝(π‘₯) instead of π‘š(π‘₯,𝑑). By Theorem 3.3, we know that (4.1)-(4.2) has a classical solution π‘’πœ€,πœ‚.

Proposition 4.2. We have πœ€β‰€π‘’πœ€,πœ‚β‰€||𝑒0||∞+πœ€,π‘’πœ€1,πœ‚β‰€π‘’πœ€2,πœ‚,forπœ€1β‰€πœ€2.(4.5)

Proof. By the maximum principle, we know that πœ€β‰€π‘’πœ€,πœ‚β‰€|𝑒0|∞+πœ€.
A simple calculation shows that πœ•π‘’πœ€1,πœ‚πœ•π‘‘βˆ’π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€1,πœ‚ξ€Έπœ•2π‘’πœ€1,πœ‚πœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗+π‘Žπ‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€1,πœ‚ξ€Έ=0,πœ•π‘’πœ€2,πœ‚πœ•π‘‘βˆ’π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€2,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€2,πœ‚ξ€Έπœ•2π‘’πœ€2,πœ‚πœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗+π‘Žπ‘₯,𝑑,π‘’πœ€2,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€2,πœ‚ξ€Έ=0,(4.6) where π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯) and π‘Ž(π‘₯,𝑑,𝑒,𝑒π‘₯) are defined as (4.4).
It is easy to prove that πœ‰π‘–π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€π‘–,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€π‘–,πœ‚ξ€Έπœ‰π‘—β‰₯πœ€π‘–πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||πœ‰||2,βˆ€πœ‰βˆˆπ‘…π‘.(4.7) Hence, we have πœ•π‘’πœ€1,πœ‚βˆ’πœ•π‘‘πœ•π‘’πœ€2,πœ‚πœ•π‘‘=π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€1,πœ‚ξ€Έπœ•2ξ€·π‘’πœ€1,πœ‚βˆ’π‘’πœ€2,πœ‚ξ€Έπœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗+ξ€Ίπ‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€1,πœ‚ξ€Έβˆ’π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€2,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€2,πœ‚πœ•ξ€Έξ€»2π‘’πœ€2,πœ‚πœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗+ξ€Ίπ‘Žξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€1,πœ‚ξ€Έξ€·βˆ’π‘Žπ‘₯,𝑑,π‘’πœ€2,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€2,πœ‚.ξ€Έξ€»(4.8) Let 𝑀=π‘’πœ€1,πœ‚βˆ’π‘’πœ€2,πœ‚,π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯,𝑑)=π‘Žπ‘–π‘—(π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€1,πœ‚). Using the mean value theorem, we have ξ€Ίπ‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€1,πœ‚ξ€Έβˆ’π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€2,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€2,πœ‚πœ•ξ€Έξ€»2π‘’πœ€2,πœ‚πœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗=ξ€Ίπ‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€1,πœ‚ξ€Έβˆ’π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€2,πœ‚πœ•ξ€Έξ€»2π‘’πœ€2,πœ‚πœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗+ξ€Ίπ‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€2,πœ‚ξ€Έβˆ’π‘Žπ‘–π‘—ξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€2,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€2,πœ‚πœ•ξ€Έξ€»2π‘’πœ€2,πœ‚πœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗=π‘‘π‘˜(π‘₯,𝑑)πœ•π‘€πœ•π‘₯π‘˜+𝑒(π‘₯,𝑑)𝑀.(4.9) Similarly, we get π‘Žξ€·π‘₯,𝑑,π‘’πœ€1,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€1,πœ‚ξ€Έξ€·βˆ’π‘Žπ‘₯,𝑑,π‘’πœ€2,πœ‚,βˆ‡π‘’πœ€2,πœ‚ξ€Έ=π‘“π‘˜(π‘₯,𝑑)πœ•π‘€πœ•π‘₯π‘˜+𝑔(π‘₯,𝑑)𝑀,(4.10) where π‘‘π‘˜(π‘₯,𝑑),𝑒(π‘₯,𝑑),π‘“π‘˜(π‘₯,𝑑), and 𝑔(π‘₯,𝑑) are bounded functions. Hence, we see that πœ•π‘€πœ•π‘‘=π‘Žπ‘–π‘—πœ•(π‘₯,𝑑)2π‘€πœ•π‘₯π‘–πœ•π‘₯𝑗+π‘π‘˜(π‘₯,𝑑)πœ•π‘€πœ•π‘₯π‘˜+𝑐(π‘₯,𝑑)𝑀.(4.11) Since 𝑀≀0 on Γ𝑇, by comparison principle of linear parabolic equation, we have 𝑀≀0.

Lemma 4.3. For all π›Όβˆˆ[0,1) and πœ‚βˆˆ(0,πœ€), there hold (1)𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚π‘(π‘₯)/2π‘’π›Όπœ€,πœ‚ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑≀𝐢,(2)π‘„π‘‡ξ‚΅πœ•π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Άπœ•π‘‘2𝑑π‘₯𝑑𝑑≀𝐢.(4.12)

Proof. Multiplying (4.1) by π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚, integrating both sides of the equality over 𝑄𝑇 and integrating by parts, we derive ξ€π‘„π‘‡πœ•π‘’πœ€,πœ‚π‘’πœ•π‘‘βˆ’π›Όπœ€,πœ‚1𝑑π‘₯𝑑𝑑=ξ€œ1βˆ’π›ΌΞ©ξ€·π‘’1βˆ’π›Όπœ€,πœ‚(π‘₯,𝑇)βˆ’π‘’1βˆ’π›Όπœ€,πœ‚ξ€Έ=(π‘₯,0)𝑑π‘₯𝑄𝑇𝑒1βˆ’π›Όπœ€,πœ‚ξ‚΅ξ‚€||divβˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Ά=ξ€œπ‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑇0ξ€œπœ•Ξ©ξ‚Έπ‘’1βˆ’π›Όπœ€,πœ‚ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2πœ•π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Ήξ€πœ•πœˆπ‘‘πœŽπ‘‘π‘‘βˆ’(1βˆ’π›Ό)𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚π‘‘π‘₯𝑑𝑑,(4.13) where 𝜈 denotes the outward normal to πœ•Ξ©Γ—(0,𝑇). Since from (4.5), π‘’πœ€,πœ‚β‰₯πœ€, we have πœ•π‘’πœ€,πœ‚/πœ•πœˆβ‰€0 on πœ•Ξ©Γ—(0,𝑇). Hence 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚1𝑑π‘₯𝑑𝑑≀(1βˆ’π›Ό)2ξ€œΞ©π‘’1βˆ’π›Όπœ€,πœ‚(π‘₯,0)𝑑π‘₯≀𝐢,(4.14) where 𝐢=𝐢(𝛼,Ξ©,|𝑒0|∞).
Using π‘’πœ€,πœ‚β‰₯πœ€>πœ‚ and Young’s inequality, we have πœ‚ξ€π‘„π‘‡ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚β‰€ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2𝑒(𝑝(π‘₯)βˆ’2)𝛼/𝑝(π‘₯)πœ€,πœ‚πœ‚2𝛼/𝑝(π‘₯)𝑒2𝛼/𝑝(π‘₯)πœ€,πœ‚β‰€1𝑑π‘₯𝑑𝑑2𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚π‘(π‘₯)/2π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚ξ€·π‘π‘‘π‘₯𝑑𝑑+πΆβˆ’,𝑝+ξ€Έ.,𝑇,Ξ©(4.15)
Combining (4.14) with (4.15) yields 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚π‘(π‘₯)/2π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑=𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚π‘‘π‘₯π‘‘π‘‘β‰€πœ‚π‘„π‘‡ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚β‰€1𝑑π‘₯𝑑𝑑+𝐢2𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚π‘(π‘₯)/2π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚π‘‘π‘₯𝑑𝑑+𝐢(𝑝,𝑇,Ξ©).(4.16) Hence, 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚π‘(π‘₯)/2π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚π‘‘π‘₯𝑑𝑑≀𝐢.(4.17) Multiplying (4.1) by (πœ•π‘’πœ€,πœ‚/πœ•π‘‘)π‘’βˆ’1πœ€,πœ‚, integrating both sides of the equality over 𝑄𝑇 and integrating by parts and noticing that (π‘’πœ€,πœ‚)𝑑=0 on πœ•Ξ©Γ—(0,𝑇), we derive ξ€π‘„π‘‡ξ‚΅πœ•π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Άπœ•π‘‘2π‘’βˆ’1πœ€,πœ‚=𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||divβˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Άπœ•π‘’πœ€,πœ‚=ξ€πœ•π‘‘π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||divβˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚πœ•π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Άβˆ’ξ€πœ•π‘‘π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Άβˆ‡ξ‚΅πœ•π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Άξ€πœ•π‘‘π‘‘π‘₯𝑑𝑑=βˆ’π‘„π‘‡ξ‚΅ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Άβˆ‡ξ‚΅πœ•π‘’πœ€,πœ‚ξ‚Άξ€œπœ•π‘‘π‘‘π‘₯𝑑𝑑=βˆ’Ξ©1ξ‚€||𝑝(π‘₯)βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||(π‘₯,𝑇)2+πœ‚π‘(π‘₯)/2+ξ€œπ‘‘π‘₯Ξ©1ξ‚€||𝑝(π‘₯)βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚(||π‘₯,0)2+πœ‚π‘(π‘₯)/2β‰€ξ€œπ‘‘π‘₯Ξ©1ξ‚€||𝑝(π‘₯)βˆ‡π‘’0||2+πœ‚π‘(π‘₯)/2𝑑π‘₯.(4.18)

Equation (4.5), Lemma 4.3, and Proposition 2.3 imply that, for any πœ€βˆˆ(0,1), there exists a subsequence of π‘’πœ€,πœ‚, denoted by π‘’πœ€,πœ‚π‘˜, and a function π‘’πœ€βˆˆπΏβˆž(𝑄𝑇)β€‰β€‰βˆ‡π‘’βˆˆπΏπ‘(π‘₯)(𝑄𝑇), such that, as πœ‚=πœ‚π‘˜β†’0,π‘’πœ€,πœ‚βŸΆπ‘’πœ€,a.e.in𝑄𝑇,(4.19)βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βŸΆβˆ‡π‘’πœ€,weaklyin𝐿𝑝(π‘₯)𝑄𝑇,(4.20)πœ•π‘’πœ€,πœ‚βŸΆπœ•π‘‘πœ•π‘’πœ€,πœ•π‘‘weaklyin𝐿2𝑄𝑇.(4.21)

Lemma 4.4. As πœ‚=πœ‚π‘˜β†’0, we have (1)𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(2)𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)|||𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(3)𝑄𝑇||||ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)||||𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(4)𝑄𝑇||||π‘’πœ€,πœ‚ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€||||𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0.(4.22)

Proof. Observe that (π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€)/π‘’πœ€,πœ‚βˆˆπΏπ‘(π‘₯)(0,𝑇;π‘Š01,𝑝(π‘₯)(Ξ©)). Multiplying (4.1) by (π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€)/π‘’πœ€,πœ‚, integrating both sides of the equality over 𝑄𝑇 and integrating by parts, we derive ξ€π‘„π‘‡ξ‚΅πœ•π‘’πœ€,πœ‚π‘’πœ•π‘‘πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€π‘’πœ€,πœ‚+ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ‡ξ€·π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€ξ€Έξ‚Άπ‘‘π‘₯𝑑𝑑=0.(4.23) By HΓΆlder inequality and Lemma 4.3, we obtain ξ€π‘„π‘‡πœ•π‘’πœ€,πœ‚π‘’πœ•π‘‘πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€π‘’πœ€,πœ‚βŸΆ0,(πœ‚βŸΆ0).(4.24) Hence, 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ‡ξ€·π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€ξ€Έπ‘‘π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0.(4.25) We divide the integral in (4.25) in the following way: 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ‡ξ€·π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€ξ€Έ=𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€ξ‚Ήξ€·π‘’β‹…βˆ‡πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€ξ€Έ+𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)ξ‚Ήβˆ‡π‘’πœ€βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚+𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)βˆ’ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2ξ‚Ή||βˆ‡π‘’πœ€||2+𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)βˆ‡π‘’πœ€βˆ‡ξ€·π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€ξ€Έπ‘‘π‘₯𝑑𝑑=𝐼1+𝐼2+𝐼3+𝐼4.(4.26) From (4.20), we see that 𝐼4⟢0,(πœ‚βŸΆ0).(4.27) Using Lemma 4.3, we have ||𝐼3||β‰€ξ€π‘„π‘‡ξ‚Έξ‚€βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚π‘(π‘₯)/2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)ξ‚Ήβ‰€πœ‚π‘‘π‘₯𝑑𝑑2𝑄𝑇𝑝(π‘₯)βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(πœ‚βŸΆ0).(4.28) Now we estimate 𝐼2. If 𝑝(π‘₯)∈(2,3], then (𝑝(π‘₯)βˆ’1)/2∈(0,1]. Using |π‘Žπ‘Ÿβˆ’π‘π‘Ÿ|≀|π‘Žβˆ’π‘|π‘Ÿ (π‘Ÿβˆˆ[0,1],π‘Ž,𝑏β‰₯0) gives ||𝐼2||≀𝑄𝑇||||ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’1)/2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’1||||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑑π‘₯π‘‘π‘‘β‰€πœ‚(π‘βˆ’βˆ’1)/2𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(πœ‚βŸΆ0).(4.29) If 𝑝(π‘₯)>3, we obtain ||𝐼2||β‰€πœ‚2𝑄𝑇(ξ‚€||𝑝(π‘₯)βˆ’1)βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚(π‘βˆ’3)/2||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(πœ‚βŸΆ0).(4.30) By (4.25), (4.26), and 𝐼2,𝐼3,𝐼4β†’0, we obtain 𝐼1=𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€ξ‚Ήξ€·π‘’β‹…βˆ‡πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€ξ€Έπ‘‘π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(πœ‚βŸΆ0).(4.31) Again by Lemma 2.5, we get 𝐼1=𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€ξ‚Ήξ€·π‘’β‹…βˆ‡πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€ξ€Έξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑β‰₯𝐢𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.32) Letting πœ‚β†’0, we obtain (1). Again noticing that 𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)|||≀𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||𝑝(π‘₯)βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||+||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’1||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||||≀𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||𝑝(π‘₯)βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||+||βˆ‡π‘’πœ€||ξ€Έπ‘βˆ’1||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’βˆ‡π‘’πœ€||𝑑π‘₯𝑑𝑑≀𝐢𝑝+||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||+||βˆ‡π‘’πœ€||||𝑝(π‘₯)||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)||β‰€πΆβˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯),(4.33) by Proposition 2.4, we see that (2) holds. To prove (3), we have 𝑄𝑇||||ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)||||≀𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||||ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)βˆ’2||||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)|||≀𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||||ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚π‘(π‘₯)/2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)||||𝑑π‘₯𝑑𝑑+𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)|||β‰€πœ‚π‘‘π‘₯𝑑𝑑2𝑄𝑇||𝑝(π‘₯)βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2𝑑π‘₯𝑑𝑑+𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)|||𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.34) Using Lemma 4.3 and (2), we see that (3) holds.
Finally, we prove (4). We have 𝑄𝑇||||π‘’πœ€,πœ‚ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€||||≀𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€||ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||+𝑑π‘₯π‘‘π‘‘π‘„π‘‡π‘’πœ€ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’βˆ‡π‘’πœ€||+𝑑π‘₯π‘‘π‘‘π‘„π‘‡π‘’πœ€||||ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2||||||βˆ‡π‘’πœ€||𝑑π‘₯𝑑𝑑=πΌπ‘Ž+𝐼𝑏+𝐼𝑐.(4.35) Equation (4.19) implies that πΌπ‘ŽβŸΆ0,(πœ‚βŸΆ0).(4.36) To estimate 𝐼𝑏, notice that 𝐼𝑏|||||β‰€πΆβˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2|||+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)𝑝(π‘₯)/2(𝑝(π‘₯)βˆ’1)||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)⟢0,(πœ‚βŸΆ0).(4.37) As 𝑝(π‘₯)∈(2,3], we have (𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2∈(0,1], 𝐼𝑐≀𝐢𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||2|||+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€||𝑑π‘₯𝑑𝑑≀𝐢𝑄𝑇2(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2ξ‚΅|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||2|||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||+πœ‚(π‘βˆ’2)/2ξ‚Ά||βˆ‡π‘’πœ€||𝑑π‘₯𝑑𝑑≀𝐢𝑄𝑇2(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚βˆ’βˆ‡π‘’πœ€||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2ξ€·||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||+||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)/2𝑑π‘₯𝑑𝑑+𝐢𝑄𝑇(2πœ‚)(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€||𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.38) By HΓΆlder inequality, we have πΌπ‘βŸΆ0,(πœ‚βŸΆ0).(4.39) If 𝑝(π‘₯)>3, we have 𝐼𝑐≀𝐢𝑄𝑇||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(π‘βˆ’3)/2+||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’3ξ‚Άβ‹…||||ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚1/2βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||||||||βˆ‡π‘’πœ€||𝑑π‘₯𝑑𝑑≀𝐢𝑄𝑇||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(π‘βˆ’3)/2+||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’3ξ‚Άβ‹…|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2||+πœ‚βˆ’βˆ‡π‘’πœ€||2|||1/2||βˆ‡π‘’πœ€||𝑑π‘₯𝑑𝑑≀𝐢21/2𝑄𝑇||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(π‘βˆ’3)/2+||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’3ξ‚Άβ‹…ξ€·||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||+||βˆ‡π‘’πœ€||ξ€Έ3/2||βˆ‡ξ€·π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€ξ€Έ||𝑑π‘₯𝑑𝑑+𝐢(2πœ‚)1/2𝑄𝑇||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)βˆ‡π‘’πœ€||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’3)/2+||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’3ξ‚Ά||βˆ‡π‘’πœ€||𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.40) Hence, πΌπ‘βŸΆ0,(πœ‚βŸΆ0).(4.41) Thus (4) is proved, and the proof of Lemma 4.4 is complete.

Proposition 4.5. We obtain that π‘’πœ€ is a weak solution of the problem πœ•π‘’ξ‚€||||πœ•π‘‘=𝑒divβˆ‡π‘’π‘(π‘₯)βˆ’2,βˆ‡π‘’π‘’|𝑆𝑇=πœ€,𝑒|𝑑=0=𝑒0+πœ€,(4.42) then πœ€β‰€π‘’πœ€β‰€||𝑒0||∞+πœ€,π‘’πœ€1β‰€π‘’πœ€2,ξ€·πœ€1β‰€πœ€2ξ€Έ,a.e.in𝑄𝑇,(4.43)𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝𝑑π‘₯𝑑𝑑≀𝐢,π‘„π‘‡ξ‚΅πœ•π‘’πœ€ξ‚Άπœ•π‘‘2𝑑π‘₯𝑑𝑑≀𝐢,(4.44) where 𝐢 is independent of πœ€.

Proof. Obviously, for all πœ€βˆˆ(0,1), π‘’πœ€βˆ’πœ€βˆˆπΏπ‘(π‘₯)(0,𝑇;π‘Š1,𝑝(π‘₯)(Ξ©)). By Proposition 4.2 and (4.19)–(4.21), we know that (4.43) holds. (4.44) follows from (4.5), (4.19)–(4.21), and Lemma 4.3. To prove that 𝑒 satisfies the integral equality in Definition 2.2, we multiply (4.1) by πœ‘βˆˆπΆβˆž0(𝑄𝑇), integrate both sides of the equality on 𝑄𝑇, and integrate by parts to derive ξ€π‘„π‘‡ξ‚Έβˆ’π‘’πœ€,πœ‚πœ‘π‘‘+π‘’πœ€,πœ‚ξ‚€||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚+ξ‚€||βˆ‡πœ‘βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2+πœ‚(𝑝(π‘₯)βˆ’2)/2||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||2πœ‘ξ‚Ήπ‘‘π‘₯𝑑𝑑=0.(4.45) Letting πœ‚=πœ‚π‘˜β†’0 to pass to limit and using (4.19) and Lemma 4.4 show that ξ€π‘„π‘‡ξ‚ƒβˆ’π‘’πœ€πœ‘π‘‘+π‘’πœ€||βˆ‡π‘’πœ€||(𝑝(π‘₯)βˆ’2)βˆ‡π‘’πœ€||βˆ‡πœ‘+βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)πœ‘ξ‚„π‘‘π‘₯𝑑𝑑=0.(4.46) Applying Lemma 4.3, we derive ξ€œΞ©||π‘’πœ€,πœ‚βˆ’π‘’0(||π‘₯)βˆ’πœ€π‘‘π‘₯≀𝐢𝑑1/2,(4.47) where 𝐢 is independent of πœ€ and πœ‚. Hence, ξ€œΞ©||π‘’πœ€βˆ’π‘’0(||π‘₯)βˆ’πœ€π‘‘π‘₯⟢0,(π‘‘βŸΆ0).(4.48)

From (4.43), we see that 𝑒 is bounded and increasing in πœ€, which implies the existence of a function 𝑒, such that, as πœ€β†’0,π‘’πœ€βŸΆπ‘’,a.e.in𝑄𝑇,(4.49)βˆ‡π‘’πœ€βŸΆβˆ‡π‘’,weaklyin𝐿𝑝(π‘₯)𝑄𝑇,(4.50)πœ•π‘’πœ€βŸΆπœ•π‘‘πœ•π‘’,πœ•π‘‘weaklyin𝐿2𝑄𝑇.(4.51)

Lemma 4.6. As πœ€β†’0, we have (1)𝑄𝑇||βˆ‡π‘’2πœ€βˆ’βˆ‡π‘’2||𝑝(π‘₯)𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(2)π‘„πœ€π‘||βˆ‡π‘’πœ€||βˆ’βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,π‘„πœ€π‘=ξ€½(π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡,π‘’πœ€ξ€Ύ,β‰₯𝑐,𝑐>0(3)𝑄𝑐||βˆ‡π‘’πœ€||βˆ’βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,𝑄𝑐=ξ€½(π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡ξ€Ύ.,𝑒β‰₯𝑐,𝑐>0(4.52)

Proof. We may take πœ‘=π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2(𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2), in the integral equality satisfied by 𝑒. Then it is easy to see that ξ€π‘„π‘‡πœ•π‘’πœ€π‘’πœ•π‘‘πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑=βˆ’π‘„π‘‡π‘’πœ€||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€βˆ‡ξ‚ƒπ‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2ξ€Έξ‚„βˆ’ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑=βˆ’π‘„π‘‡||(𝑝(π‘₯)βˆ’1)βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2𝑒2πœ€βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑+πœ€2𝑄𝑇||(𝑝(π‘₯)βˆ’1)βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2βˆ’ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2ξ€Έπ‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’1βˆ’ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’1βˆ‡π‘(π‘₯)lnπ‘’πœ€ξ€·π‘’2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.53) Hence, by (4.43), we have ξ€π‘„π‘‡πœ•π‘’πœ€π‘’πœ•π‘‘πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯π‘‘π‘‘β‰€πœ€2𝑄𝑇||(𝑝(π‘₯)βˆ’1)βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2βˆ’ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2ξ€Έπ‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’1βˆ’ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’1βˆ‡π‘(π‘₯)lnπ‘’πœ€ξ€·π‘’2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.54) Notice that 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2ξ€Έπ‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’1=𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇12𝑝(π‘₯)βˆ’1||βˆ‡π‘’2πœ€||π‘βˆ’2βˆ‡π‘’2πœ€βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.55) So ξ€π‘„π‘‡πœ•π‘’πœ€π‘’πœ•π‘‘πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑+𝑄𝑇12𝑝(π‘₯)βˆ’1||βˆ‡π‘’2πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’2πœ€βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2𝑑π‘₯π‘‘π‘‘β‰€πœ€2𝑄𝑇||(𝑝(π‘₯)βˆ’1)βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2βˆ’ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’1βˆ‡π‘(π‘₯)lnπ‘’πœ€ξ€·π‘’2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.56) Hence, ξ€π‘„π‘‡πœ•π‘’πœ€π‘’πœ•π‘‘πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2ξ€Έ+𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇12𝑝(π‘₯)βˆ’1||βˆ‡π‘’2πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’2πœ€βˆ’||βˆ‡π‘’2||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’2ξ‚„βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2𝑑π‘₯π‘‘π‘‘β‰€βˆ’π‘„π‘‡ξ‚€12𝑝(π‘₯)βˆ’1||βˆ‡π‘’2||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’2βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑+πœ€2𝑄𝑇||(𝑝(π‘₯)βˆ’1)βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2βˆ’ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’1βˆ‡π‘(π‘₯)lnπ‘’πœ€ξ€·π‘’2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯π‘‘π‘‘β‰€βˆ’π‘„π‘‡ξ‚€12𝑝(π‘₯)βˆ’1||βˆ‡π‘’2||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’2βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑+πœ€2𝑄𝑇(||𝑝(π‘₯)βˆ’1)βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)π‘’πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2𝑑π‘₯𝑑𝑑+𝐢𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’1π‘’πœ€π‘(π‘₯)𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.57) By (4.43), (4.44), and (4.49), we see that as πœ€β†’0, βˆ‡π‘’2πœ€βŸΆβˆ‡π‘’2,weaklyin𝐿𝑝(π‘₯)𝑄𝑇,ξ€π‘„π‘‡πœ•π‘’πœ€π‘’πœ•π‘‘πœ€π‘(π‘₯)βˆ’2𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’1π‘’πœ€π‘(π‘₯)𝑒2πœ€βˆ’πœ€2βˆ’π‘’2𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(πœ€βŸΆ0).(4.58) Therefore, limπœ€β†’0𝑄𝑇||βˆ‡π‘’2πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’2πœ€βˆ’||βˆ‡π‘’2||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’2ξ‚„βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑≀0.(4.59) By Lemma 2.5, 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’2πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’2πœ€βˆ’||βˆ‡π‘’2||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’2ξ‚„βˆ‡ξ€·π‘’2πœ€βˆ’π‘’2𝑑π‘₯𝑑𝑑β‰₯𝑄𝑇||βˆ‡π‘’2πœ€βˆ’βˆ‡π‘’2||𝑝(π‘₯)𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.60) Hence, limπœ€β†’0𝑄𝑇||βˆ‡π‘’2πœ€βˆ’βˆ‡π‘’2||𝑝(π‘₯)𝑑π‘₯𝑑𝑑≀0,(4.61) that is, 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’2πœ€βˆ’βˆ‡π‘’2||𝑝(π‘₯)𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(πœ€βŸΆ0).(4.62) Applying (π‘Ž+𝑏)𝑝≀2𝑝(π‘Žπ‘+𝑏𝑝), (π‘Ž,𝑏>0), and 2π‘’πœ€βˆ‡(π‘’πœ€βˆ’π‘’)=βˆ‡(𝑒2πœ€βˆ’π‘’2)βˆ’2(π‘’πœ€βˆ’π‘’)βˆ‡π‘’, we have ξ€π‘„π‘‡π‘’πœ€π‘(π‘₯)||βˆ‡π‘’πœ€||βˆ’βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)≀𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’2πœ€βˆ’βˆ‡π‘’2||𝑝𝑑π‘₯𝑑𝑑+𝑄𝑇2𝑝(π‘₯)||βˆ‡π‘’πœ€||βˆ’βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)||||βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)𝑑π‘₯𝑑𝑑.(4.63) Equation (4.50) and (1) imply that the right side tends to zero as πœ€β†’0. Since π‘’πœ€β‰₯𝑐 in π‘„πœ€π‘, (2) is proved. (3) is an immediate consequence of (2).

Lemma 4.7. For any π›Όβˆˆ[0,1), we have 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)π‘’πœ€βˆ’π›Όπ‘‘π‘₯𝑑𝑑≀𝐢,(4.64) where 𝐢 is independent of πœ€.

Proof. From Lemmas 4.3 and 4.4, it is easily seen that 𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚π‘‘π‘₯𝑑𝑑≀𝐢,(4.65)𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)|||𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,πœ‚=πœ‚π‘˜ξ€Έ.⟢0(4.66) Using π‘’πœ€,πœ‚,π‘’πœ€β‰₯πœ€, (4.66), and Proposition 4.5, we have 𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)π‘’πœ€βˆ’π›Ό|||≀𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)|||π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚ξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑+𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)||π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€βˆ’π›Ό||π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚π‘’πœ€βˆ’π›Όβ‰€1𝑑π‘₯π‘‘π‘‘πœ€π›Όξ€π‘„π‘‡|||||βˆ‡π‘’πœ€,πœ‚||𝑝(π‘₯)βˆ’||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)|||1𝑑π‘₯𝑑𝑑+πœ€2𝛼𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)||π‘’βˆ’π›Όπœ€,πœ‚βˆ’π‘’πœ€βˆ’π›Ό||𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0.(4.67) The proof of Lemma 4.7 is completed by combining (4.67) with (4.65).

Lemma 4.8. As πœ€β†’0, we have(1)𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’||||βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)|||𝑑π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0,(2)𝑄𝑇|||π‘’πœ€||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’2βˆ‡π‘’πœ€||||βˆ’π‘’βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)βˆ’2|||βˆ‡π‘’π‘‘π‘₯π‘‘π‘‘βŸΆ0.(4.68)

Proof. Let πœ’πœŒ and πœ’πœ€πœŒ be the characteristic functions of {(π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡;𝑒(π‘₯,𝑑)<𝜌} and {(π‘₯,𝑑)βˆˆπ‘„π‘‡;π‘’πœ€(π‘₯,𝑑)<𝜌}, respectively. Then 𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’||||βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)|||≀𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)πœ’πœ€πœŒβˆ’||||βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)πœ’πœŒ|||𝑑π‘₯𝑑𝑑+𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)ξ€·1βˆ’πœ’πœ€πœŒξ€Έβˆ’||||βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)ξ€·1βˆ’πœ’πœŒξ€Έ|||≀𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)πœ’πœ€πœŒξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑+𝑄𝑇||||βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)πœ’πœŒξ€π‘‘π‘₯𝑑𝑑+𝑄𝑇||||βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)ξ€·πœ’πœ€πœŒβˆ’πœ’πœŒξ€Έ+𝑑π‘₯𝑑𝑑𝑄𝑇|||||βˆ‡π‘’πœ€||𝑝(π‘₯)βˆ’||||βˆ‡π‘’π‘(π‘₯)|||ξ€·1βˆ’πœ’πœ€πœŒξ€Έπ‘‘π‘₯𝑑𝑑=𝐼1+𝐼2+𝐼3+𝐼4.(4.69) Taking 𝛼=1/2 in Lemma 4.7, we obtain that 𝐼1β‰€πΆπœŒ1/2. Since 𝐼2β†’0 (πœŒβ†’0), for any 𝛿>0, we can choose 𝜌>0 such that 𝐼1+𝐼2<𝛿/3. For fixed 𝜌>0,