Second-Order Systems of ODEs Admitting Three-Dimensional Lie Algebras and Integrability

Table 2

Second-order differential invariants and equations.

Algebra	N	Invariants and equations
𝐴3,1	1	𝑢=𝑥̇,𝑣=𝑦,̇𝑤=𝑥̈,𝑑𝑣=𝑦̈𝑑𝑢𝑥̈
		𝑥̈=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑦̈𝑥̈=𝑔(𝑢,𝑣)
	2	𝑢=𝑡,𝑣=𝑦̇−𝑥̇𝑓^′(𝑡),𝑤=𝑥̈,𝑑𝑣=̈̈𝑑𝑢𝑦−𝑥𝑓^′(𝑡)−𝑥̇𝑓^′′(𝑡)
		𝑥̈=ℎ(𝑢,𝑣), 𝑦̈−𝑥̈𝑓^′(𝑡)−𝑥̇𝑓^′′(𝑡)=𝑘(𝑢,𝑣)
	3	𝑢=𝑡,𝑣=𝑦,𝑤=𝑥̈,𝑑𝑣=𝑦̇𝑑𝑢, and 𝑦̈=0
	*	𝑥̈=𝑓(𝑢,𝑣,𝑑𝑣)𝑑𝑢, 𝑦̈=0
𝐴3,2	1	𝑢=𝑒^𝑦̇𝑥̇𝑦,𝑣=𝑦̇, 𝑥̈𝑤=𝑥̇^2,𝑑𝑣=𝑥̈𝑑𝑢𝑒^𝑦𝑦(̇𝑦̇^2+̈−𝑥̇𝑦̈𝑦)𝑒^𝑦𝑦̇^2(𝑦̇^2+𝑦)̈
		𝑥̈𝑥̇^2𝑥̈=𝑓(𝑢,𝑣),𝑒^𝑦𝑦(̇𝑦̇^2+̈−𝑥̇𝑦̈𝑦)𝑒^𝑦𝑦̇^2(𝑦̇^2+𝑦)̈=𝑔(𝑢,𝑣)
	2	𝑢=𝑦,𝑣=𝑒^̇̇𝑦𝑥/̇𝑦̈𝑦,𝑤=𝑦̇^2,𝑑𝑣𝑑𝑢=𝑒^̇̇𝑦𝑥/𝑥̈𝑦̇+𝑒^̇̇𝑦𝑥/(𝑦̇−𝑥̇)𝑦̈𝑦̇^2
		𝑦̈𝑦̇^2=𝑓(𝑢,𝑣),𝑒^̇̇𝑦𝑥/𝑥̈𝑦̇+𝑒^̇̇𝑦𝑥/(𝑦̇−𝑥̇)𝑦̈𝑦̇^2=𝑔(𝑢,𝑣)
	3	𝑥̇𝑢=𝑦,𝑣=𝑦̇𝑥̈,𝑤=𝑥̇^2,𝑑𝑣=𝑥̈𝑑𝑢𝑦̇^2−𝑥̇𝑦̈𝑦̇^3
		𝑥̈𝑥̇^2=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑥̈𝑦̇^2−𝑥̇𝑦̈𝑦̇^3=𝑔(𝑢,𝑣)
	4	𝑢=𝑦,𝑣=𝑡𝑦,̇𝑤=𝑡𝑥̈,𝑑𝑣𝑡𝑦̈𝑑𝑢=1+𝑦̇
		𝑡𝑥̈=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑡𝑦̈1+𝑦̇=𝑔(𝑢,𝑣)
𝐴3,3	1	𝑥̇𝑢=𝑦,𝑣=𝑦̇𝑥̈,𝑤=𝑥̇^3,𝑑𝑣=𝑥̈𝑑𝑢𝑦̇^2−𝑥̇𝑦̈𝑦̇^3
		𝑥̈𝑥̇^3=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑥̈𝑦̇^2−𝑥̇𝑦̈𝑦̇^3=𝑔(𝑢,𝑣)
	2	𝑥̇𝑢=𝑦,𝑣=^22𝑦̇^2−1𝑦̇𝑥̇𝑦̈,𝑤=𝑦̇^3−𝑥̈𝑦̇^2,𝑑𝑣=𝑥̇𝑥̈𝑑𝑢𝑦̇^3+(𝑦̇−𝑥̇^2)𝑦̈𝑦̇^4
		𝑥̇𝑦̈𝑦̇^3−𝑥̈𝑦̇^2=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑥̇𝑥̈𝑦̇^3+(𝑦̇−𝑥̇^2)𝑦̈𝑦̇^4=𝑔(𝑢,𝑣)
	3	1𝑢=𝑦−𝑥̇𝑥̇,𝑣=𝑦̇𝑥̈,𝑤=𝑥̇^3,𝑑𝑣=𝑥̇𝑑𝑢^2𝑥̈𝑦(̇𝑥̈+𝑦𝑥̇̇^2)−𝑥̇^3𝑦̈𝑦̇^2(𝑥̈+𝑦𝑥̇̇^2)
		𝑥̈𝑥̇^3=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑥̇^2𝑥̈𝑦(̇𝑥̈+𝑦𝑥̇̇^2)−𝑥̇^3𝑦̈𝑦̇^2(𝑥̈+𝑦𝑥̇̇^2)=𝑔(𝑢,𝑣)
𝐴3,4	1	𝑢=𝑦,𝑣=𝑒^̇𝑥1/𝑦̇𝑥̇𝑥̈,𝑤=𝑥̇^2𝑦̇,𝑑𝑣𝑑𝑢=𝑒^̇𝑥1/𝑦̈𝑥̇𝑦̇−𝑒^̇𝑥1/(1+𝑥̇)𝑥̈𝑥̇^3
		𝑥̈𝑥̇^2𝑦̇=𝑓(𝑢,𝑣),𝑒^̇𝑥1/𝑦̈𝑥̇𝑦̇−𝑒^̇𝑥1/(1+𝑥̇)𝑥̈𝑥̇^3=𝑔(𝑢,𝑣)
	2	1𝑢=𝑦−𝑥̇,𝑣=𝑒^̇𝑥1/𝑦̇𝑥̇𝑥̈,𝑤=𝑥̇^2𝑦̇,𝑑𝑣𝑑𝑢=𝑒^̇𝑥1/𝑥̇𝑦̈𝑥̈+𝑥̇^2𝑦̇−𝑒^̇𝑥1/(1+𝑥̇)𝑥̈𝑦̇𝑥̇(𝑥̈+𝑥̇^2𝑦)̇
		𝑥̈𝑥̇^2𝑦̇=𝑓(𝑢,𝑣),𝑒^̇𝑥1/𝑥̇𝑦̈𝑥̈+𝑥̇^2𝑦̇−𝑒^̇𝑥1/(1+𝑥̇)𝑥̈𝑦̇𝑥̇(𝑥̈+𝑥̇^2𝑦)̇=𝑔(𝑢,𝑣)
	3	𝑢=𝑦,𝑣=𝑦,̇𝑤=𝑒^𝑡𝑥̈,𝑑𝑣=𝑦̈𝑑𝑢𝑦̇
		𝑒^𝑡̈(),𝑦̈𝑥=𝑓𝑢,𝑣𝑦̇=𝑔(𝑢,𝑣)
𝐴3,5	1	̇𝑦̈𝑢=𝑦,𝑣=𝑥,𝑤=𝑦̇^2,𝑑𝑣=𝑥̈𝑑𝑢𝑦̇
		𝑦̈𝑦̇^2𝑥̈=𝑓(𝑢,𝑣),𝑦̇=𝑔(𝑢,𝑣)
	2	𝑢=𝑥̇,𝑣=𝑒^𝑦̇𝑥̈𝑦,𝑤=𝑦̇,𝑑𝑣𝑑𝑢=𝑒^𝑦𝑦̇^2𝑥̈+𝑒^𝑦𝑦̈𝑥̈
		𝑥̈𝑦̇=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑒^𝑦𝑦̇^2𝑥̈+𝑒^𝑦𝑦̈𝑥̈=𝑔(𝑢,𝑣)
	3	𝑢=𝑡,𝑣=𝑦,𝑑𝑣=̇𝑑𝑑𝑢𝑦,^2𝑣𝑑𝑢^2=𝑦̈, and 𝑥̈=0
	*	𝑥̈=0, 𝑦̈=𝑔(𝑢,𝑣,𝑑𝑣)𝑑𝑢
	4	𝑢=𝑡,𝑣=𝑦,̇𝑤=𝑒^−𝑦𝑥̈,𝑑𝑣=𝑦̈𝑑𝑢
		𝑒^−𝑦𝑥̈=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑦̈=𝑔(𝑢,𝑣)
𝐴^𝑎3,6; |𝑎|≤1,; 𝑎≠0,1	1	𝑢=𝑦,𝑣=𝑥̇𝑦̇^𝑎−1𝑥̈,𝑤=𝑥̇𝑦̇,𝑑𝑣=𝑥̈𝑦̇𝑑𝑢^𝑎−2+(𝑎−1)𝑥̇𝑦̇^𝑎−3𝑦̈
		𝑥̈𝑥̇𝑦̇=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑥̈𝑦̇^𝑎−2+(𝑎−1)𝑥̇𝑦̇^𝑎−3𝑦̈=𝑔(𝑢,𝑣)
	2	𝑢=𝑒^𝑦𝑦,̇𝑣=𝑥̇𝑦̇^𝑎−1𝑥̈,𝑤=𝑥̇𝑦̇,𝑑𝑣=𝑒𝑑𝑢^−𝑦𝑥̈𝑦̇^𝑎−1𝑦̇^2+𝑦̈+(𝑎−1)𝑒^−𝑦𝑥̇𝑦̇^𝑎−2𝑦̈𝑦̇^2+𝑦̈
		𝑥̈𝑥̇𝑦̇=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑒^−𝑦𝑥̈𝑦̇^𝑎−1𝑦̇^2+𝑦̈+(𝑎−1)𝑒^−𝑦𝑥̇𝑦̇^𝑎−2𝑦̈𝑦̇^2+𝑦̈=𝑔(𝑢,𝑣)
	3	𝑢=𝑦,𝑣=𝑡𝑦,̇𝑤=𝑡^(2𝑎−1)/(𝑎−1)𝑥̈,𝑑𝑣𝑡𝑦̈𝑑𝑢=1+𝑦̇
		𝑡^(2𝑎−1)/(𝑎−1)𝑥̈=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑡𝑦̈1+𝑦̇=𝑔(𝑢,𝑣)
𝐴3,7	1	̇𝑢=𝑦,𝑣=𝑦𝑒^̇𝑥−𝑎arctan√1+𝑥̇^2̈,𝑤=𝑥𝑒^̇𝑥−𝑎arctan(1+𝑥̇^2)^3/2,𝑑𝑣=̇̈𝑑𝑢−(𝑎+𝑥)𝑥𝑒^̇𝑥−𝑎arctan(1+𝑥̇^2)^3/2+𝑦𝑒̈^̇𝑥−𝑎arctan𝑦√̇1+𝑥̇^2
		𝑥̈𝑒^̇𝑥−𝑎arctan(1+𝑥̇^2)^3/2=𝑓(𝑢,𝑣), −(𝑎+𝑥̇)𝑥̈𝑒^̇𝑥−𝑎arctan(1+𝑥̇^2)^3/2+𝑦𝑒̈^̇𝑥−𝑎arctan𝑦√̇1+𝑥̇^2=𝑔(𝑢,𝑣)
	2	̇̇𝑢=𝑦+arctan𝑥,𝑣=𝑦𝑒^̇𝑥−𝑎arctan√1+𝑥̇^2̈,𝑤=𝑥𝑒^̇𝑥−𝑎arctan(1+𝑥̇^2)^3/2,
		𝑑𝑣=̇𝑦̇̈𝑑𝑢−(𝑎+𝑥)𝑥𝑒^̇𝑥−𝑎arctan(𝑥̈+(1+𝑥̇^2)𝑦)̇√1+𝑥̇^2+𝑦√̈1+𝑥̇^2𝑒^̇𝑥−𝑎arctan𝑥̈+(1+𝑥̇^2)𝑦̇
		𝑥̈𝑒^̇𝑥−𝑎arctan(1+𝑥̇^2)^3/2=𝑓(𝑢,𝑣), −(𝑎+𝑥̇)𝑦𝑥̇̈𝑒^̇𝑥−𝑎arctan(𝑥̈+(1+𝑥̇^2)𝑦)̇√1+𝑥̇^2+𝑦√̈1+𝑥̇^2𝑒^̇𝑥−𝑎arctan𝑥̈+(1+𝑥̇^2)𝑦̇=𝑔(𝑢,𝑣)
	3	𝑢=𝑦,𝑣=(1+𝑡^2)̇̈𝑦,𝑤=𝑥𝑒^𝑎arctan𝑡𝑦̇^3/2,𝑑𝑣𝑑𝑢=2𝑡+(1+𝑡^2)𝑦̈𝑦̇
		𝑥̈𝑒^𝑎arctan𝑡𝑦̇^3/2=𝑓(𝑢,𝑣), 2𝑡+(1+𝑡^2)𝑦̈𝑦̇=𝑔(𝑢,𝑣)
𝐴3,8	2	𝑢=2𝑦−𝑥̇,𝑣=𝑥̇^2−4𝑥𝑦,̇𝑤=𝑥𝑥̈−2𝑥𝑦,̇𝑑𝑣̇𝑦̈𝑑𝑢=−2𝑥−4𝑥2𝑦̇−𝑥̈
		𝑥𝑥̈−2𝑥𝑦̇=𝑓(𝑢,𝑣), ̇𝑦̈−2𝑥−4𝑥2𝑦̇−𝑥̈=𝑔(𝑢,𝑣)
	3	𝑥̇𝑢=𝑦,𝑣=(𝑡−𝑥)^2𝑦̇^22,𝑤=𝑦̇+𝑦̈(𝑡−𝑥)𝑦̇^2,𝑑𝑣=𝑥̈𝑑𝑢(𝑡−𝑥)^2𝑦̇^3−2(1−𝑥̇)𝑥̇𝑦̇+2(𝑡−𝑥)𝑥̇𝑦̈(𝑡−𝑥)^3𝑦̇^4,
		2𝑦̇+𝑦̈(𝑡−𝑥)𝑦̇^2=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑥̈(𝑡−𝑥)^2𝑦̇^3−2(1−𝑥̇)𝑥̇𝑦̇+2(𝑡−𝑥)𝑥̇𝑦̈(𝑡−𝑥)^3𝑦̇^4=𝑔(𝑢,𝑣)
	4	𝑡̇𝑢=𝑦,𝑣=𝑥−𝑥𝑦̇𝑥̈,𝑤=𝑦̇^3,𝑑𝑣=𝑡𝑥̈𝑑𝑢𝑦̇^2−(𝑡𝑥̇−𝑥)𝑦̈𝑦̇^3
		𝑥̈𝑦̇^3=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑡𝑥̈𝑦̇^2−(𝑡𝑥̇−𝑥)𝑦̈𝑦̇^3=𝑔(𝑢,𝑣)
	5	𝑥𝑦̇𝑢=𝑦,𝑣=√1+𝑥̇^2𝑥̇,𝑤=1+^2𝑥^3𝑦̇^3+𝑥̈𝑥^2𝑦̇^3,𝑑𝑣=̇𝑥̇𝑑𝑢𝑥(1+^2−𝑥𝑥̈)(1+𝑥̇^2)^3/2+𝑥𝑦̈𝑦√̇1+𝑥̇^2
		1+𝑥̇^2𝑥^3𝑦̇^3+𝑥̈𝑥^2𝑦̇^3=𝑓(𝑢,𝑣), 𝑥̇(1+𝑥̇^2−𝑥𝑥̈)(1+𝑥̇^2)^3/2+𝑥𝑦̈𝑦√̇1+𝑥̇^2=𝑔(𝑢,𝑣)
𝐴3,9	1	𝑥̇𝑢=𝑦,𝑣=1+^2+(𝑡𝑥̇−𝑥)^2(1+𝑡^2+𝑥^2)^2𝑦̇^2𝑥̈,𝑤=(1+𝑡^2+𝑥^2)^3/2𝑦̇^3,
		𝑑𝑣𝑥̇𝑑𝑢=−2(1+^2+(𝑡𝑥̇−𝑥)^2)𝑦̈𝑦̇^4(1+𝑡^2+𝑥^2)^2−4(𝑡+𝑥𝑥̇)(1+𝑥̇^2+(𝑡𝑥̇−𝑥)^2)𝑦̇^3(1+𝑡^2+𝑥^2)^3−2(𝑥𝑡−(1+𝑡^2)𝑥̇)𝑥̈𝑦̇^3(1+𝑡^2+𝑥^2)^2
		𝑥̈(1+𝑡^2+𝑥^2)^3/2𝑦̇^3=𝑓(𝑢,𝑣),
		−2(1+𝑥̇^2+(𝑡𝑥̇−𝑥)^2)𝑦̈𝑦̇^4(1+𝑡^2+𝑥^2)^2−4(𝑡+𝑥𝑥̇)(1+𝑥̇^2+(𝑡𝑥̇−𝑥)^2)𝑦̇^3(1+𝑡^2+𝑥^2)^3−2(𝑥𝑡−(1+𝑡^2)𝑥̇)𝑥̈𝑦̇^3(1+𝑡^2+𝑥^2)^2=𝑔(𝑢,𝑣)
	2	̇̇𝑢=−𝑦+arctan(𝑥sec𝑥),𝑣=𝑦sec𝑥+tan𝑥√1+𝑥̇^2sec^2𝑥,
		̈𝑤=𝑥sec^2𝑥(𝑦̇sec𝑥+tan𝑥)^3+(cos𝑥sin𝑥+2𝑥̇^2tan𝑥)sec^2𝑥(𝑦̇sec𝑥+tan𝑥)^3
		𝑑𝑣=𝑑𝑢(cos^2𝑥+𝑥̇^2)𝑦̈sec^3𝑥𝑥̈+𝑥̇^2sin𝑥−𝑦̇sec𝑥sec𝑥−𝑦̇√1+𝑥̇^2sec^2𝑥+((1+𝑥̇^2+𝑦̇sin𝑥)cos𝑥−𝑥̈(𝑦̇+sin𝑥))𝑥̇sec^3𝑥((𝑥̈+𝑥̇^2(sin𝑥−𝑦)̇sec𝑥)sec𝑥−𝑦)̇√1+𝑥̇^2sec^2𝑥
		𝑥̈sec^2𝑥𝑦̇sec𝑥+tan𝑥^3+(cos𝑥sin𝑥+2𝑥̇^2tan𝑥)sec^2𝑥(𝑦̇sec𝑥+tan𝑥)^3=𝑓(𝑢,𝑣)
		(cos^2𝑥+𝑥̇^2)𝑦̈sec^3𝑥((𝑥̈+𝑥̇^2(sin𝑥−𝑦)̇sec𝑥)sec𝑥−𝑦)̇√1+𝑥̇^2sec^2𝑥+((1+𝑥̇^2+𝑦̇sin𝑥)cos𝑥−𝑥̈(𝑦̇+sin𝑥))𝑥̇sec^3𝑥((𝑥̈+𝑥̇^2(sin𝑥−𝑦)̇sec𝑥)sec𝑥−𝑦)̇√1+𝑥̇^2sec^2𝑥=𝑔(𝑢,𝑣)