Computing the Characteristic Polynomials of a Class of Hyperelliptic Curves for Cryptographic Applications

Table 3

Some parameters for 𝐶_𝑞 whose Jacobian group orders have large prime factors.

𝑞	𝑚	𝑎	𝑏	𝑃(𝑡)	The largest prime factors of #𝕁𝐶𝑞(𝔽𝑞𝑚)	Bits
5	23				5465713352000770660547109750601	103
	29				1334402673828313149547634216455312875601	130
	37				510241095096183757930733363918820917976121	139
	43	2,3	𝑏∈𝔽5	𝑡^4+25	132331554743163541916284364878460504933118649	147
	59				115740982234809846938460212895728805200607070205251⧵6944254770910797210840078500601	270
	67				867036788162169620124638326439573933801961942760108098070⧵1370016748806481465099715917129	293
	83				803692714308830143367297266327762922660863388853347980739⧵3933052864889428085088211821764213868646438952419731	362
5^2	23	1	𝑏∉𝔽𝑝, 𝑏∉𝔽5^2	𝑡^4−5𝑡^3 +25𝑡^2−125𝑡+ 625	529958401900871889532705668013589387152384352866888324141	189
	37				654418058067838415738219243693599843014730577527147788290⧵1122358940971377123359179724468647761	312
	41				302432661799107117404163951962923697369817504003965405048⧵43052416220664183834350299219966348767059287031	344
	43				186303988308322090874478781582395496784216892901472776234⧵2659345237037936896409322508402835718902635373797579083961	380
	53				291610525781490940421443140715914231197410552825810130042⧵681253630419471155500509947792484684708874327987628732648⧵48903982789253891086395322246881	484
	35	𝜈	1	𝑡^4+625	751114601164400963558298106851275193494354988352771579238⧵818981647550964507812890001	279
	53				992546266896549276402616168146585251329055676315885009163⧵311765166575856031713035384955676431972387484913025322167⧵258482406322245836062321	459
	67				336811435885959208445641343491054920374120171960655193293⧵219265977895989598373705302211662541119647190380393508253⧵771113342078436606690357719421008432512113722632406302690⧵565490875000390001	613
7	17	3,5	𝑏∈𝔽5	𝑡^6+2401	638991748543082113037456009420293477766438233	149
	25				101087819444250339960209489699235199115942108498312937463⧵657783601	216
	31				103602441708018848525107155829768304755490441636535691297⧵4660190950495137	240
	37				494238893933995748902489762221251946925169471844835131661⧵333855087397989688385273799604896250931261182588286429822⧵18283201	405
7^2	37	−1	𝜉	𝑡^6−7𝑡^5 +49𝑡^4−343𝑡^3 +2401t^2 −16807t +117649	917978970173748828722717246665778119436009819029423573386⧵999458698539060819171142807825459514676666724494347570300⧵5674750598455003336119	452
	23				150557819388250184737538915006485086145065087672198550975⧵239193637571002600137	257
	47				296622615055064026410595294739016073226621769583063595146⧵246922263428126791770055382936328803135692863434055321280⧵473083651131176444146403955371064616929027577273326083639⧵5130546675122066047171328830326841817575249958461	730
	61	−4−5𝜉	3	𝑡^6−7𝑡^5 +49𝑡^4−343𝑡^3 +2401t^2 −16807t +117649	8895270249059563599185595938219020670590896314104535959964⧵8016164505006377256389546604468613493539182920809346771675⧵9773506416632242948638670510523462330304278108981369417392⧵1982072102810157541240855736144227613689662410423301535608⧵9640174996978462560103065338025939666322591200406677474989	964
	71				6059483980039244877047243971289932877368693248030007997563⧵4051109664747243238974088293635840393750782605275018285648⧵0050394746490410269339276185366728255286611777338282539843⧵0750963323653238944701113108662166958149626807014450213296⧵6079886234998846359954447034509585472485237180044828118247⧵981072177295129	1013