A Genetic Algorithm-Based Approach for Single-Machine Scheduling with Learning Effect and Release Time

Table 1

The performance of the branch- and-bound and genetic algorithms.

𝑛	a	𝜃	Branch- and-bound algorithm					GA1		GA2		GA3		GA4
			Node		CPU time		OF	Error percentage
			Mean	Max	Mean	Max		Mean	Max	Mean	Max	Mean	Max	Mean	Max
12	−0.05	1/𝑛	42	385	0.0031	0.0156	20	0.0858	1.7151	0.0000	0.0000	0.0401	0.8013	0.0000	0.0000
		0.25	549	1781	0.0187	0.0624	20	0.1055	2.1091	0.0142	0.2839	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		0.50	473	1189	0.0140	0.0312	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		0.75	414	1013	0.0125	0.0312	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	569	2427	0.0164	0.0624	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.10	1/𝑛	62	488	0.0023	0.0156	20	0.1646	2.0568	0.1617	2.0568	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		0.25	1047	4318	0.0312	0.1092	20	0.0044	0.0878	0.0044	0.0878	0.0283	0.5665	0.0000	0.0000
		0.50	480	1321	0.0140	0.0468	20	0.0000	0.0000	0.0684	1.3676	0.0019	0.0373	0.0000	0.0000
		0.75	786	5291	0.0203	0.1404	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	396	1382	0.0125	0.0468	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.15	1/𝑛	21	71	0.0016	0.0156	20	0.0206	0.4130	0.0000	0.0000	0.0360	0.4130	0.0000	0.0000
		0.25	817	4363	0.0226	0.0936	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.1228	2.4567	0.0000	0.0000
		0.50	493	1969	0.0148	0.0624	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		0.75	286	803	0.0094	0.0312	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	417	1259	0.0117	0.0312	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.20	1/𝑛	47	336	0.0023	0.0156	20	0.1295	2.5896	0.1295	2.5896	0.0003	0.0069	0.0000	0.0000
		0.25	1091	6689	0.0289	0.1560	20	0.0106	0.2119	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		0.50	337	948	0.0109	0.0312	20	0.0314	0.6284	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		0.75	452	1121	0.0117	0.0312	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	319	1387	0.0086	0.0312	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
16	−0.05	1/𝑛	74	365	0.0078	0.0312	20	0.2066	3.4518	0.2202	2.7743	0.1114	1.2163	0.0608	1.2163
		0.25	39325	105847	2.0108	5.8188	20	0.4522	5.3071	0.1479	1.7548	0.0621	0.4629	0.0309	0.3126
		0.50	18779	107488	0.8697	4.4616	20	0.0052	0.1035	0.0935	1.6983	0.0849	1.6983	0.0000	0.0000
		0.75	22967	290574	0.9259	10.2025	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	5144	34260	0.2535	1.5288	20	0.0041	0.0811	0.0115	0.2306	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.10	1/𝑛	91	323	0.0086	0.0312	20	0.1813	3.4958	0.2368	2.7957	0.1906	1.9030	0.0000	0.0000
		0.25	53237	291654	2.5826	12.7297	20	0.3151	2.5393	0.2824	2.1606	0.1918	2.1606	0.1271	2.1606
		0.50	15022	193968	0.6778	8.1277	20	0.0616	1.0305	0.0154	0.3088	0.0154	0.3088	0.0000	0.0000
		0.75	15144	197196	0.6474	8.0029	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0006	0.0120	0.0000	0.0000
		1.00	3403	9875	0.1794	0.4992	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.15	1/𝑛	118	1368	0.0101	0.1092	20	0.2462	4.5183	0.0431	0.6619	0.0103	0.2068	0.0000	0.0000
		0.25	52185	484662	2.2994	19.0165	20	0.0762	0.8319	0.3212	3.7507	0.0969	1.0191	0.0418	0.8319
		0.50	17808	101503	0.8221	4.6020	20	0.0740	0.7668	0.0356	0.6773	0.0574	0.6773	0.0339	0.6773
		0.75	3763	16453	0.1997	0.8112	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0067	0.1343	0.0000	0.0000
		1.00	3882	14411	0.1911	0.7020	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.20	1/𝑛	200	828	0.0172	0.0624	20	0.1832	2.6781	0.3397	1.7660	0.3644	2.2420	0.0000	0.0000
		0.25	25881	149925	1.1224	5.3664	20	0.0140	0.2772	0.0299	0.4614	0.0098	0.1922	0.0002	0.0034
		0.50	11829	48284	0.5819	2.3556	20	0.0000	0.0000	0.0072	0.1431	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		0.75	2687	12382	0.1427	0.5928	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	2047	5258	0.1076	0.2340	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
20	−0.05	1/𝑛	82	278	0.0156	0.0624	20	1.6268	7.4028	0.3538	6.9562	0.0113	0.2265	0.0000	0.0000
		0.25	1319111	4407360	105.9941	322.4697	20	0.7803	2.9510	0.5928	3.2815	0.8700	4.2205	0.2480	1.5709
		0.50	963361	9983475	61.8895	568.7017	20	0.0377	0.4016	0.1608	1.7464	0.2224	1.5708	0.0033	0.0510
		0.75	323776	2518001	22.9485	183.1606	20	0.0022	0.0446	0.0000	0.0000	0.0027	0.0446	0.0000	0.0000
		1.00	41188	138955	3.3642	11.1072	20	0.0017	0.0338	0.0017	0.0338	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.10	1/𝑛	1345	14123	0.1716	1.7317	20	0.6707	3.4958	0.4690	2.8787	0.4353	3.4958	0.0000	0.0000
		0.25	2134707	16978059	154.3318	1204.4214	20	0.3845	2.3175	0.1848	0.6798	0.3536	2.1979	0.0460	0.2909
		0.50	202434	1320363	15.6266	102.4927	20	0.0000	0.0000	0.0045	0.0786	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		0.75	67733	450297	5.5645	34.5229	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	30928	238389	2.6192	18.5483	20	0.0023	0.0462	0.0000	0.0000	0.0023	0.0462	0.0000	0.0000
	−0.15	1/𝑛	293	2224	0.0429	0.2964	20	0.1670	1.3088	0.1845	2.9345	0.1835	2.9345	0.0000	0.0000
		0.25	1539138	7544291	103.9052	497.0186	20	0.4685	2.9738	0.1876	1.0582	0.2690	1.9134	0.0544	0.9353
		0.50	235214	2737579	16.9066	192.0840	20	0.0046	0.0923	0.0032	0.0641	0.0073	0.1284	0.0000	0.0000
		0.75	56901	281822	4.5716	22.5576	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	17992	51529	1.5163	3.6973	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.20	1/𝑛	698	4825	0.0991	0.6240	20	0.2436	1.5781	0.4239	4.0426	0.2224	1.5781	0.1927	1.5781
		0.25	4348006	64668017	275.0735	4000.4590	20	0.1596	1.4118	0.0549	0.2968	0.2765	2.1869	0.0203	0.2249
		0.50	107201	675811	8.0878	47.6895	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0058	0.1155	0.0000	0.0000
		0.75	31529	163854	2.5990	11.0918	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	15118	63845	1.3198	4.9453	20	0.0000	0.0000	0.0016	0.0324	0.0016	0.0318	0.0000	0.0000
24	−0.05	1/𝑛	478	2082	0.1248	0.4836	20	0.4707	3.9003	0.2017	2.0990	0.1368	1.8118	0.0959	1.8118
		0.25	43205517	87504444	5233.8760	10604.3535	13	0.4991	2.1418	0.6032	1.9032	0.4607	2.0265	0.2283	1.3231
		0.50	11780220	66191783	1305.4869	6594.8027	19	0.0758	1.0456	0.0313	0.2363	0.1334	1.0456	0.0161	0.2363
		0.75	1216867	4261994	156.2529	470.8125	20	0.0056	0.1126	0.0198	0.3359	0.0174	0.1871	0.0000	0.0000
		1.00	888475	5439067	114.4057	692.4417	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.10	1/𝑛	1074	12050	0.2496	2.6364	20	0.7378	4.2545	0.3868	2.4023	0.2577	1.8340	0.0541	0.6057
		0.25	24953166	53006630	2854.7095	6344.0156	11	0.4324	2.2382	0.5843	2.9043	0.6883	2.5478	0.3452	2.2382
		0.50	3116322	31612798	366.1781	3815.9717	20	0.0137	0.1184	0.0087	0.0883	0.0075	0.1028	0.0000	0.0000
		0.75	513685	2435858	67.2926	296.4331	20	0.0000	0.0000	0.0015	0.0306	0.0112	0.1371	0.0000	0.0000
		1.00	270431	1462391	35.2609	196.0620	20	0.0000	0.0000	0.0052	0.1037	0.0039	0.0771	0.0000	0.0000
	−0.15	1/𝑛	674	2613	0.1693	0.6084	20	0.7280	7.8202	0.3115	2.7017	0.2512	3.4255	0.0284	0.5683
		0.25	23417410	61951876	2538.7673	6371.3604	15	0.9250	3.3429	0.2948	1.2902	0.2232	1.7855	0.0499	0.4354
		0.50	4118014	36622393	474.9373	3927.6216	20	0.0114	0.1193	0.0053	0.1058	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		0.75	661765	5958864	87.4869	792.0327	20	0.0073	0.1458	0.0075	0.1509	0.0043	0.0867	0.0000	0.0000
		1.00	837932	11995859	96.8626	1324.4172	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
	−0.20	1/𝑛	3126	15554	0.7082	3.1980	20	0.1942	3.2396	0.4290	3.3146	0.3196	3.2396	0.1669	3.2396
		0.25	9333827	72575949	999.3219	8068.2031	15	0.0589	0.2822	0.0646	0.7914	0.0844	0.7331	0.0204	0.2057
		0.50	384242	2271989	50.8384	280.8486	20	0.0038	0.0760	0.0130	0.2596	0.0130	0.2596	0.0000	0.0000
		0.75	570054	4053320	70.1732	531.1990	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
		1.00	233727	1202819	29.1574	132.6006	20	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000

Note: “OF” denotes the number of instances in 20 sets of data that can be solved in less than 10⁸ nodes by using the branch- and-bound method.