Research Article
p-Optimality-Based Multiobjective Root System Growth Algorithms for Multiobjective Applications
Table 1
Test results of two objective functions.
| | Problem | p-MORSGA | NSGA-II | MOEA/D | MOPSO | rNSGA-II | RPDNSGA-II |
| | ZDT1 | Converge | Avg | 8.2473e − 1 | 9.8750e − 1 | 8.3829e − 1 | 1.0000e + 0 | 9.9750e − 1 | 9.9477e − 1 | | Metric | Std | 8.23e − 3 | 9.50e − 3 | 1.02e − 1 | 0.00e + 0 | 4.86e − 3 | 5.15e − 3 | | Diversity | Avg | 2.2842e − 3 | 2.3791e − 3 | 2.6362e − 3 | 2.0794e + 1 | 2.9883e − 1 | 4.9906e − 3 | | Metric | Std | 6.88e − 5 | 6.99e − 5 | 8.43e − 4 | 8.36e + 0 | 6.08e − 3 | 5.35e − 4 | | IGD | Avg | 2.2842e − 3 | 2.3791e − 3 | 2.6362e − 3 | 2.0510e + 1 | 2.9883e − 1 | 4.9906e − 3 | | Metric | Std | 6.78e − 5 | 6.99e − 5 | 8.43e − 4 | 8.48e + 0 | 6.08e − 3 | 5.35e − 4 | | HV | Avg | 7.2140e − 1 | 7.2154e − 1 | 7.2155e − 1 | 1.0000e + 0 | 4.1705e − 1 | 7.1954e − 1 | | Metric | Std | 1.88e − 3 | 1.44e − 4 | 1.07e − 3 | 0.00e + 0 | 5.36e − 3 | 4.90e − 4 |
| | ZDT2 | Converge | Avg | 3.5233e − 1 | 1.0000e + 0 | 4.5020e − 1 | 1.0000e + 0 | 9.9696e − 1 | 9.8232e − 1 | | Metric | Std | 1.89e − 1 | 0.00 + 0 | 2.69e − 1 | 0.00e + 0 | 4.85e − 3 | 3.46e − 2 | | Diversity | Avg | 2.3924e − 3 | 2.9150e − 3 | 2.1365e − 3 | 3.0864e + 1 | 3.3474e − 1 | 1.5993e − 2 | | Metric | Std | 4.93e − 4 | 1.57e − 3 | 4.70e − 4 | 8.04e + 0 | 5.59e − 3 | 2.65e − 2 | | IGD | Avg | 2.3924e − 3 | 2.9150e − 3 | 2.1365e − 3 | 3.0864e + 1 | 3.3474e − 1 | 1.5993e − 2 | | Metric | Std | 2.43e − 4 | 1.57e − 3 | 4.70e − 4 | 8.04e + 0 | 5.59e − 3 | 2.65e − 2 | | HV | Avg | 4.6422e − 1 | 4.4460e − 1 | 4.4628e − 1 | 1.0000e + 0 | 1.8738e − 1 | 4.2840e − 1 | | Metric | Std | 1.89e − 3 | 4.58e − 3 | 1.66e − 3 | 0.00e + 0 | 3.13e − 3 | 3.34e − 2 |
| | ZDT3 | Converge | Avg | 1.0342e − 2 | 8.7650e − 1 | 2.0135e − 1 | 1.0000e + 0 | 7.8232e − 1 | 8.1864e − 1 | | Metric | Std | 3.24e − 2 | 6.57e − 2 | 1.08e − 1 | 0.00e + 0 | 1.13e − 1 | 1.05e − 1 | | Diversity | Avg | 1.2395e − 2 | 4.4731e − 2 | 1.1309e − 2 | 1.9225e + 1 | 5.2856e − 1 | 4.2074e − 2 | | Metric | Std | 3.43e − 2 | 8.16e − 2 | 1.24e − 2 | 6.79e + 0 | 7.40e − 2 | 4.90e − 2 | | IGD | Avg | 1.2374e − 2 | 4.4731e − 2 | 1.1309e − 2 | 1.8946e + 1 | 5.2856e − 1 | 4.2074e − 2 | | Metric | Std | 1.02e − 2 | 8.16e − 2 | 1.24e − 2 | 6.63e + 0 | 7.40e − 2 | 4.90e − 2 | | HV | Avg | 6.7935e − 2 | 6.3195e − 1 | 6.0250e − 1− | 1.0000e + 0 | 5.3392e − 1 | 6.5979e − 1 | | Metric | Std | 1.33e − 3 | 6.82e − 2 | 4.07e − 2 | 0.00e + 0 | 1.21e − 2 | 8.87e − 2 |
| | ZDT4 | Converge | Avg | 8.3583e − 1 | 9.9500e − 1 | 1.0000e + 0− | 1.0000e + 0 | 1.0000e + 0 | 9.6527e − 1 | | Metric | Std | 3.92e − 3 | 4.08e − 3 | 0.00e + 0 | 0.00e + 0 | 0.00e + 0 | 4.01e − 2 | | Diversity | Avg | 2.9400e − 3 | 3.0137e − 3 | 4.3406e − 3 | 1.4861e + 1 | 2.8996e − 1 | 1.1594e − 1 | | Metric | Std | 5.89e − 4 | 5.73e − 4 | 1.50e − 3 | 5.97e + 0 | 3.95e − 3 | 3.16e − 2 | | IGD | Avg | 2.9400e − 3 | 3.0137e − 3 | 4.3406e − 3 | 1.4453e + 1 | 2.8996e − 1 | 1.1594e − 1 | | Metric | Std | 5.89e − 4 | 5.73e − 4 | 1.50e − 3 | 5.84e + 0 | 3.95e − 3 | 3.16e − 2 | | HV | Avg | 7.3248e − 1 | 7.2019e − 1 | 7.1808e − 1− | 1.0000e + 0 | 4.2437e − 1 | 6.1428e − 1 | | Metric | Std | 2.55e − 3 | 1.01e − 3 | 2.12e − 3 | 0.00e + 0 | 3.32e − 3 | 3.55e − 2 |
| | ZDT6 | Converge | Avg | 3.0324e − 1 | 9.5450e − 1 | 9.1000e − 1 | 2.0450e − 1 | 9.7400e − 1 | 9.9829e − 1 | | Metric | Std | 1.34e − 1 | 9.55e − 2 | 1.34e − 1 | 3.96e − 1 | 8.22e − 2 | 3.86e − 3 | | Diversity | Avg | 1.0348e − 3 | 1.8732e − 3 | 1.6607e − 3 | 9.5418e − 1 | 2.2503e − 1 | 5.7035e − 3 | | Metric | Std | 4.66e − 5 | 9.17e − 5 | 7.58e − 5 | 2.96e + 0 | 5.43e − 3 | 2.87e − 4 | | IGD | Avg | 1.0348e − 3 | 1.8732e − 3 | 1.6607e − 3 | 9.3956e − 1 | 2.2503e − 1 | 5.7035e − 3 | | Metric | Std | 4.66e − 5 | 9.17e − 5 | 7.58e − 5 | 2.96e + 0 | 5.43e − 3 | 2.87e − 4 | | HV | Avg | 2.9843e − 1 | 3.8983e − 1 | 3.8985e − 1 | 3.4808e − 1 | 2.0532e − 1 | 3.8554e − 1 | | Metric | Std | 4.32e − 3 | 2.98e − 4 | 2.34e − 4 | 1.22e − 1 | 3.40e − 3 | 3.95e − 4 |
|
|
