Frequent Statement and Dereference Elimination for Imperative and Object-Oriented Distributed Programs

Algorithm 1

Inference rules of the ready type system.

𝑛∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑛∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠 𝑆₁∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′𝑆₂∶𝑝^′′,𝑟𝑠^′′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑆₁𝑖_op𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚∅,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪𝑆₁𝑖_op𝑆₂𝑖^𝑟_op 𝑥∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑥∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠

𝑆₁∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′𝑆₂∶𝑝^′′,𝑟𝑠^′′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑆₁𝑏_op𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚∅,𝑝^′,𝑟𝑠^′∪𝑆₁𝑏_op𝑆₂𝑏^𝑟_op ∗𝑆∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′∗𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪∗𝑆,𝑔,𝐴^′′=𝑔;𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′∪{∗𝑆},𝐴^′′∗≠1.^𝑟

  𝑠𝑘𝑖𝑝∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚∅,𝑝,𝑟𝑠 𝑥∶=𝑆∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆∶(𝑝,𝑟𝑠)→_𝑚(𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′)𝑥∶=𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′′⧵𝑆∈𝑆𝑡𝑚𝑡∣𝑥∈𝑓𝑟𝑒𝑒(𝑆)∶=^𝑟

  𝑆₁←𝑆₂∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆₁∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴₁,𝑝₁,𝑎𝑠₁𝑆₂∶𝑝₁,𝑎𝑠₁→_𝑚𝐴₂,𝑝₂,𝑎𝑠₂𝑆₁←𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑎𝑠₂⧵𝐴^′∪𝑆∣𝑆∶𝑝→_𝑚𝐴_𝑠,---&𝐴_𝑠∩𝐴^′←≠∅^𝑟

  𝑆₁∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′𝑆₂∶𝑝^′′,𝑟𝑠^′′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑆₁;𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑠𝑒𝑞^𝑟 𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′′𝑆_𝑡∶𝑝,𝑟𝑠^′′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑆_𝑓∶𝑝,𝑟𝑠^′′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑖𝑓𝑆𝑡ℎ𝑒𝑛𝑆_𝑡𝑒𝑙𝑠𝑒𝑆_𝑓∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑖𝑓^𝑟

  𝑆₁𝑆₂/𝑥∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝜆𝑥⋅𝑆₁𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑎𝑝𝑝𝑙^𝑟 𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→𝐴^′′,𝑝^′′,𝑟𝑠^′𝑆_𝑡∶𝑝^′′,𝑟𝑠^′→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠𝑤ℎ𝑖𝑙𝑒𝑆𝑑𝑜𝑆_𝑡∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑤ℎ𝑙^𝑟

    𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝜆𝑥⋅𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑎𝑏𝑠^𝑟 𝑓𝑑(𝑛𝑎𝑚𝑒)∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑛𝑎𝑚𝑒∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑛𝑎𝑚𝑒^𝑟

  𝜆𝑥⋅𝑆^′𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑙𝑒𝑡𝑟𝑒𝑐𝑥=𝑆𝑖𝑛𝑆^′∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑙𝑒𝑡𝑟𝑒𝑐^𝑟 𝑛𝑒𝑤_𝑙∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑛𝑒𝑤_𝑙∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠𝑛𝑒𝑤^𝑟

𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡(𝑆,𝑛)∶𝑝→_𝑚𝐴^′,𝑝^′𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴,𝑝^′′,𝑟𝑠^′𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡(𝑆,𝑛)∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡^𝑟 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑆₁𝑓𝑟𝑜𝑚𝑆₂∶𝑝→𝐴^′,𝑝^′𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴₂,𝑝₂,𝑎𝑠₂𝑆₁∶𝑝₂,𝑎𝑠₂→_𝑚𝐴₁,𝑝₁,𝑟𝑠^′𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑚𝑖𝑡𝑆₁𝑓𝑟𝑜𝑚𝑆₂∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠^𝑟

    𝑝^′₁,𝑟𝑠^′₁≤𝑝₁,𝑎𝑠₁𝑆∶𝑝₁,𝑎𝑠₁→_𝑚𝑝₂,𝑎𝑠₂𝑝₂,𝑎𝑠₂≤𝑝^′₂,𝑟𝑠^′₂𝑆∶𝑝^′₁,𝑟𝑠^′₁→_𝑚𝑝^′₂,𝑟𝑠^′₂𝑐𝑠𝑞^𝑟 𝐷𝑒𝑓𝑠∶∅↷𝑓𝑑𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝐷𝑒𝑓𝑠∶𝑆∶𝑝,𝑟𝑠→_𝑚𝐴^′,𝑝^′,𝑟𝑠^′𝑝𝑟𝑔^𝑟